ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Quadratische Funktionen / Parabeln
Mathematik · Klasse 9–10 · 4 Blätter · 51 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionen und Gleichungen · Ende Jg. 9/10Hessen: E.1 Funktionen und ihre Darstellung
Scheitelpunktform und Normalform einer Parabel, und wie man mit der quadratischen Ergänzung von der einen zur anderen kommt.
Worum es geht
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Man kann sie auf zwei Arten schreiben. In der Normalform f(x) = ax² + bx + c sieht man den y-Achsenabschnitt c. In der Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e liest man den Scheitelpunkt S(d|e) direkt ab. Der Faktor a sagt in beiden Formen dasselbe: a > 0 heißt nach oben geöffnet, a < 0 nach unten, |a| > 1 schmaler als die Normalparabel.
Die Regeln
| Aufgabe | Vorgehen | Beispiel |
|---|---|---|
| Scheitelpunkt ablesen | f(x) = a(x − d)² + e → S(d|e) | f(x) = (x − 1)² + 4 → S(1|4) |
| Scheitelpunktform → Normalform | Klammer mit binomischer Formel auflösen, zusammenfassen | (x − 1)² + 4 = x² − 2x + 5 |
| Normalform → Scheitelpunktform | quadratische Ergänzung: (b/2)² addieren und wieder abziehen | x² − 2x + 5 = (x − 1)² − 1 + 5 |
| Bei a ≠ 1 | erst a aus den x-Gliedern ausklammern, dann ergänzen | 2x² + 4x = 2(x² + 2x) |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Gib den Scheitelpunkt von f(x) = x² + 6x + 5 an.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Ergänzungszahl | 6 : 2 = 3 · 3² = 9 | x² + 6x + 9 ist genau (x + 3)²; diese Zahl fehlt zur binomischen Formel |
| 2 · Ergänzen | x² + 6x + 9 − 9 + 5 | +9 − 9 ist null, der Wert der Funktion ändert sich nicht |
| 3 · Binomische Formel | (x + 3)² − 9 + 5 | die ersten drei Glieder zur Klammer zusammenfassen |
| 4 · Zusammenfassen | (x + 3)² − 4 | jetzt steht die Funktion in Scheitelpunktform |
| 5 · Ablesen | S(−3|−4) | x + 3 ist x − (−3), also d = −3; der Tiefpunkt liegt dort, wo die Klammer null wird |
Der typische Fehler
Vorzeichen von d übernommen: Aus (x + 3)² − 4 wird S(3|−4). Das fühlt sich richtig an, weil in der Klammer eine 3 steht. Die Klammer wird aber bei x = −3 null, nicht bei x = 3 — und nur dort ist das Quadrat am kleinsten. Die x-Koordinate des Scheitels hat also immer das umgekehrte Vorzeichen der Zahl in der Klammer, die y-Koordinate das gleiche wie die Zahl dahinter.
So prüfst du dein Ergebnis
Scheitel einsetzen. f(−3) = 9 − 18 + 5 = −4. Der Punkt liegt also auf der Parabel. Als zweite Kontrolle gilt für die x-Koordinate des Scheitels d = −b/(2a) = −6/2 = −3.