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Quadratische Ergänzung
Mathematik · Klasse 9–10 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 9/10
Hier steht, wie man eine quadratische Funktion mit quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform bringt. Wer den einen Schritt mit dem Faktor vor x² beherrscht, schafft jede Aufgabe.
Worum es geht
Aus der Form f(x) = ax² + bx + c kann man den Scheitelpunkt nicht direkt ablesen. Die Scheitelpunktform f(x) = a(x − d)² + e zeigt ihn sofort: S(d|e). Um dorthin zu kommen, ergänzt man die x-Glieder zu einer binomischen Formel. Man addiert dafür eine passende Zahl und zieht sie gleich wieder ab, damit sich der Wert des Terms nicht ändert.
Die Regeln
| Schritt | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Ziel | f(x) = a(x − d)² + e, Scheitel S(d|e) | (x − 3)² − 4 → S(3|−4) |
| Faktor vor x² | a aus den x-Gliedern ausklammern, die Zahl bleibt draußen | 2x² − 8x + 1 = 2[x² − 4x] + 1 |
| Ergänzen | halben x-Faktor quadrieren, addieren und wieder abziehen | x² + 6x: (6/2)² = 9 |
| Binomische Formel | x² + 2dx + d² = (x + d)² | x² + 6x + 9 = (x + 3)² |
| Scheitel ablesen | Vorzeichen in der Klammer umkehren | (x + 3)² − 5 → S(−3|−5) |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Bringe f(x) = 2x² − 12x + 13 in die Scheitelpunktform.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Ausklammern | f(x) = 2[x² − 6x] + 13 | die Ergänzung funktioniert nur, wenn vor x² eine 1 steht; die 13 bleibt draußen |
| 2 · Ergänzen | 2[x² − 6x + 9 − 9] + 13 | (6/2)² = 9; + 9 − 9 ist null und ändert den Wert nicht |
| 3 · Binom bilden | 2[(x − 3)² − 9] + 13 | x² − 6x + 9 = (x − 3)² |
| 4 · Klammer auflösen | 2(x − 3)² − 18 + 13 | die −9 steht in der eckigen Klammer und wird mit 2 multipliziert |
| 5 · Zusammenfassen | f(x) = 2(x − 3)² − 5; S(3|−5) | jetzt steht der Scheitel direkt da |
Der typische Fehler
Die abgezogene Zahl nicht mit dem Faktor a multiplizieren. Dann steht am Ende 2(x − 3)² − 9 + 13 = 2(x − 3)² + 4. Das fühlt sich richtig an, weil man die 9 selbst hinzugefügt hat und sie deshalb „so wie sie ist“ wieder abzieht. Sie steht aber innerhalb der Klammer, die mit 2 multipliziert wird, also werden daraus −18. Die falsche Form liefert für x = 0 den Wert 22, die Ausgangsfunktion aber 13.
So prüfst du dein Ergebnis
x = 0 in beide Formen einsetzen. Die Ausgangsform ergibt f(0) = 13. Die Scheitelpunktform ergibt 2 · (−3)² − 5 = 18 − 5 = 13. Gleicher Wert, die Umformung stimmt. Wer gründlicher prüfen will, multipliziert die Scheitelpunktform aus: 2(x² − 6x + 9) − 5 = 2x² − 12x + 13.