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Quadrat- und Kubikzahlen
Mathematik · Klasse 5–7 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
Was „hoch 2“, „hoch 3“ und die Wurzel bedeuten und worauf man bei Minuszeichen achten muss.
Worum es geht
Eine Quadratzahl entsteht, wenn man eine Zahl mit sich selbst malnimmt: 7² = 7 · 7 = 49. Das ist die Fläche eines Quadrats mit Seite 7. Eine Kubikzahl nimmt die Zahl dreimal: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64, das Volumen eines Würfels mit Kante 4. Die Wurzel geht den Weg zurück: √49 = 7, weil 7 · 7 = 49.
Die Regeln
| Begriff | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| Quadrat a² | a · a | 13² = 169 |
| Kubikzahl a³ | a · a · a | 4³ = 64 |
| Quadratwurzel √x | die nicht negative Zahl, die mit sich selbst malgenommen x ergibt | √144 = 12 |
| Kubikwurzel ∛x | die Zahl, die dreimal malgenommen x ergibt | ∛125 = 5; ∛(−8) = −2 |
| Dezimalzahlen | wie ganze Zahlen rechnen; beim Quadrat verdoppelt sich die Zahl der Nachkommastellen | 0,3² = 0,09 |
| Minuszeichen | mit Klammer wird die negative Zahl quadriert, ohne Klammer nur die Zahl dahinter | (−5)² = 25, aber −5² = −25 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: (−4)² − 2³ + √49
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Quadrat | (−4)² = (−4) · (−4) = 16 | die Klammer sagt: die ganze Zahl −4 wird quadriert; minus mal minus gibt plus |
| 2 · Kubikzahl | 2³ = 2 · 2 · 2 = 8 | hoch 3 heißt dreimal die 2 als Faktor, nicht 2 · 3 |
| 3 · Wurzel | √49 = 7 | weil 7 · 7 = 49 |
| 4 · Zusammenrechnen | 16 − 8 + 7 = 15 | Potenzen und Wurzeln zuerst, dann von links nach rechts |
Der typische Fehler
−5² = 25 — man denkt: „minus zum Quadrat wird plus“. Das fühlt sich richtig an, weil (−5) · (−5) tatsächlich 25 ist. Aber ohne Klammer gehört die Hochzahl nur zur 5, das Minus steht davor: −5² = −(5 · 5) = −25. Nur wenn die −5 in einer Klammer steht, wird sie als Ganzes quadriert.
So prüfst du dein Ergebnis
Wurzeln durch Quadrieren prüfen. √49 = 7 stimmt, weil 7² = 49. Für Wurzeln, die nicht aufgehen, helfen die Nachbarn: 17² = 289 und 18² = 324, also liegt √300 zwischen 17 und 18. Und fürs Vorzeichen: Eine negative Zahl hoch 2 ist positiv, hoch 3 negativ.