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Primfaktorzerlegung
Mathematik · Klasse 5–6 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
Wie man jede Zahl in Primzahlen zerlegt und damit ggT und kgV findet.
Worum es geht
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst. Die ersten sind 2, 3, 5, 7, 11, 13. Die 1 ist keine Primzahl. Jede andere Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, und zwar nur auf eine einzige Weise. Diese Primfaktorzerlegung ist wie ein Bauplan der Zahl: Aus ihr liest man ggT, kgV und die Anzahl der Teiler ab.
Die Regeln
| Begriff | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Zerlegen | immer durch die kleinste Primzahl teilen, die passt, bis nur noch eine Primzahl übrig ist | 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5 |
| ggT (größter gemeinsamer Teiler) | nur die gemeinsamen Primfaktoren, jeweils so oft, wie sie in beiden Zahlen vorkommen | 60 = 2² · 3 · 5; 84 = 2² · 3 · 7 → ggT = 2² · 3 = 12 |
| kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) | alle Primfaktoren, jeweils mit der höchsten Potenz | kgV(60, 84) = 2² · 3 · 5 · 7 = 420 |
| Anzahl der Teiler | jeden Exponenten um 1 erhöhen, die Ergebnisse malnehmen | 60 = 2² · 3¹ · 5¹ → 3 · 2 · 2 = 12 Teiler |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Zerlege 360 in Primfaktoren.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Durch 2 | 360 : 2 = 180; 180 : 2 = 90; 90 : 2 = 45 | solange die Zahl gerade ist, teilt die kleinste Primzahl 2 sie |
| 2 · Durch 3 | 45 : 3 = 15; 15 : 3 = 5 | 45 ist ungerade, aber die Quersumme 9 ist durch 3 teilbar |
| 3 · Schluss | 5 ist eine Primzahl | ist nur noch eine Primzahl übrig, ist man fertig |
| 4 · Aufschreiben | 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5 | alle Teiler, durch die geteilt wurde, gleiche Faktoren als Potenz |
Der typische Fehler
360 = 4 · 9 · 10 — das Produkt stimmt, und die Faktoren sind schön klein. Deshalb fühlt es sich wie eine fertige Zerlegung an. Aber 4, 9 und 10 sind keine Primzahlen: 4 = 2 · 2, 9 = 3 · 3, 10 = 2 · 5. Erst wenn jeder Faktor prim ist, ist die Zerlegung eindeutig, und nur dann kann man ggT und kgV daraus ablesen.
So prüfst du dein Ergebnis
Zurückmultiplizieren und jeden Faktor prüfen. 2³ · 3² · 5 = 8 · 9 · 5 = 360, das Produkt stimmt. Dann geh jeden Faktor einzeln durch: Ist er wirklich eine Primzahl? 2, 3 und 5 sind es. Steht dort eine 4, 6, 9 oder 15, musst du weiter zerlegen.