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Potenzfunktionen
Mathematik · Klasse 10 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 9/10
Hier steht, wie der Exponent das Aussehen einer Potenzfunktion bestimmt und wie man aus zwei Punkten ihre Gleichung findet.
Worum es geht
Eine Potenzfunktion hat die Form f(x) = a · xⁿ. Der Exponent n entscheidet über die Form des Graphen: Ist n gerade, liegt der Graph symmetrisch zur y-Achse, ist n ungerade, liegt er punktsymmetrisch zum Ursprung. Der Faktor a streckt den Graphen und spiegelt ihn an der x-Achse, wenn er negativ ist. Negative und gebrochene Exponenten sind Kurzschreibweisen für Brüche und Wurzeln.
Die Regeln
| Fall | Eigenschaft | Beispiel |
|---|---|---|
| n gerade | achsensymmetrisch zur y-Achse, f(−x) = f(x); für a > 0 zeigen beide Enden nach oben | x², 3x⁴ |
| n ungerade | punktsymmetrisch zum Ursprung, f(−x) = −f(x); die Enden zeigen in entgegengesetzte Richtungen | x³, −2x⁵ |
| negativer Exponent | x⁻ⁿ = 1/xⁿ, x ≠ 0; für x → ±∞ geht f(x) → 0 | 3x⁻² = 3/x² |
| gebrochener Exponent | x^(1/n) ist die n-te Wurzel | x^(1/2) = √x, 8^(1/3) = 2 |
| a und n aus zwei Punkten | Funktionswerte durcheinander teilen, dann fällt a weg | f(4)/f(2) = 2ⁿ |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Der Graph einer Potenzfunktion f(x) = a · xⁿ geht durch P(2|−24) und Q(4|−192). Bestimme f(x).
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Ansatz | −24 = a · 2ⁿ und −192 = a · 4ⁿ | beide Punkte liegen auf dem Graphen und erfüllen die Gleichung |
| 2 · Teilen | −192/(−24) = 4ⁿ/2ⁿ → 8 = 2ⁿ | a kürzt sich weg, es bleibt eine Gleichung nur für n |
| 3 · Exponent | n = 3 | weil 2³ = 8 |
| 4 · Faktor | a = −24/2³ = −24/8 = −3 | n in die erste Gleichung einsetzen |
| 5 · Ergebnis | f(x) = −3x³ | ungerader Exponent, negatives a: der Graph fällt von links oben nach rechts unten |
Der typische Fehler
Bei einer geraden Potenz einer negativen Zahl das Minus behalten. Für f(x) = 2x⁴ rechnen viele f(−2) = 2 · (−16) = −32. Das fühlt sich richtig an, weil „minus bleibt minus“ bei Addition und Subtraktion ja stimmt. Beim Potenzieren wird die negative Zahl aber viermal mit sich selbst multipliziert, und eine gerade Anzahl negativer Faktoren ergibt ein positives Produkt: (−2)⁴ = 16, also f(−2) = 32. Dasselbe sagt die Symmetrie: f(−2) = f(2).
So prüfst du dein Ergebnis
Den zweiten Punkt und die Symmetrie prüfen. Mit f(x) = −3x³ ist f(4) = −3 · 64 = −192, das ist Q. Bei geradem n muss f(−x) = f(x) gelten, bei ungeradem f(−x) = −f(x). Hier: f(−2) = −3 · (−8) = 24 = −f(2). Passt das Vorzeichen nicht zur Symmetrie, ist eine Potenz falsch berechnet.