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Potenzgesetze
Mathematik · Klasse 8–10 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Zahl und Operation – Operationen und ihre Eigenschaften · Jg. 7/8
Die Potenzgesetze für gleiche Basen, Potenzen von Potenzen und negative Exponenten — mit einer Probe, die jede Regel bestätigt.
Worum es geht
Eine Potenz ist eine Abkürzung für wiederholtes Malnehmen: x⁴ heißt x · x · x · x. Die Basis x ist der Faktor, der Exponent 4 sagt, wie oft er vorkommt. Alle Potenzgesetze folgen aus dieser Bedeutung — wer sie vergessen hat, kann sie durch Ausschreiben jederzeit neu herleiten. Die Gesetze fürs Malnehmen und Teilen gelten nur bei gleicher Basis.
Die Regeln
| Gesetz | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Gleiche Basis malnehmen | Exponenten addieren: xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ | x³ · x² = x⁵ |
| Gleiche Basis teilen | Exponenten subtrahieren: xᵐ : xⁿ = xᵐ⁻ⁿ | a⁹ : a⁴ = a⁵ |
| Potenz einer Potenz | Exponenten multiplizieren: (xᵐ)ⁿ = xᵐ·ⁿ | (x⁴)³ = x¹² |
| Negativer Exponent | Kehrwert: x⁻ⁿ = 1/xⁿ | 5⁻² = 1/25 |
| Exponent null | x⁰ = 1 (x ≠ 0) | 7⁰ = 1 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: (x²)³ : x⁸ ohne negativen Exponenten schreiben
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Klammer zuerst | (x²)³ = x⁶ | dreimal der Faktor x² ist x² · x² · x², also 2 + 2 + 2 = 6 Faktoren x |
| 2 · Teilen | x⁶ : x⁸ = x⁶⁻⁸ = x⁻² | sechs x kürzen sich gegen sechs der acht x im Nenner, zwei bleiben unten |
| 3 · Negativen Exponenten umschreiben | x⁻² = 1/x² | das Minus im Exponenten heißt: Diese Faktoren stehen im Nenner |
Der typische Fehler
(x²)³ = x⁵ — die Exponenten addiert statt multipliziert. Das fühlt sich richtig an, weil x² · x³ = x⁵ genauso aussieht und die Regel fürs Malnehmen am häufigsten geübt wird. (x²)³ heißt aber: x² dreimal als Faktor, also x² · x² · x² = x⁶. Wer unsicher ist, schreibt die Potenz einmal aus.
So prüfst du dein Ergebnis
Eine Zahl einsetzen. Setze x = 2 in Aufgabe und Ergebnis ein. Aufgabe: (2²)³ : 2⁸ = 64 : 256 = 1/4. Ergebnis: 1/2² = 1/4. Gleich, also stimmt die Umformung. Mit x = 1 funktioniert die Probe nicht — jede Potenz von 1 ist 1.