ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Polynomdivision
Mathematik · Klasse 11 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: E.6 Weitere Verfahren zum Lösen von Gleichungen (nicht verbindlich)
Hier steht, wie man ein Polynom durch (x − a) teilt und so aus einer Nullstelle die übrigen findet.
Worum es geht
Die Polynomdivision funktioniert wie die schriftliche Division von Zahlen: Man teilt immer nur das höchste Glied, multipliziert zurück, subtrahiert und holt das nächste Glied herunter. Teilt man durch (x − a) und bleibt kein Rest, dann ist a eine Nullstelle, und das Polynom zerfällt in (x − a) mal ein Polynom, das einen Grad niedriger ist. So wird aus einer Gleichung dritten Grades eine quadratische.
Die Regeln
| Schritt | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Vorbereiten | nach fallenden Potenzen ordnen, fehlende Potenzen mit 0 auffüllen | x³ − 7x + 6 = x³ + 0x² − 7x + 6 |
| Teilen | nur das höchste Glied durch x teilen | x³ : x = x² |
| Zurückmultiplizieren und subtrahieren | das Ergebnis mal (x − a), dann die ganze Zeile abziehen | x² · (x − 1) = x³ − x² |
| Rest | Rest 0: a ist Nullstelle; sonst Ergebnis + Rest/(x − a) | Rest 2: … + 2/(x − 1) |
| Nullstellen | eine Nullstelle raten (Teiler des Zahlglieds), dividieren, den Rest quadratisch lösen | x³ − 7x + 6: x = 1 raten |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Berechne (x³ − 2x² − 5x + 6) : (x − 1).
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Höchstes Glied | x³ : x = x² | das erste Glied des Ergebnisses |
| 2 · Zurück und abziehen | (x³ − 2x²) − (x³ − x²) = −x²; dazu −5x herunterholen | x² · (x − 1) = x³ − x²; das x³ verschwindet, so soll es sein |
| 3 · Nächstes Glied | −x² : x = −x; (−x² − 5x) − (−x² + x) = −6x; dazu +6 | abgezogen wird die ganze Klammer: −5x − x = −6x |
| 4 · Letztes Glied | −6x : x = −6; (−6x + 6) − (−6x + 6) = 0 | Rest 0, also ist x = 1 eine Nullstelle |
| 5 · Ergebnis | x² − x − 6 | die Glieder aus den Schritten 1, 3 und 4 |
Der typische Fehler
Beim Subtrahieren das Vorzeichen des zweiten Glieds nicht umdrehen. Wer (x³ − 2x²) − (x³ − x²) als −2x² − x² = −3x² rechnet, landet am Ende bei Rest −2. Das fühlt sich richtig an, weil zwei Minuszeichen nebeneinander nach „noch mehr minus“ aussehen. Abgezogen wird aber die ganze Zeile, und −(−x²) = +x². Ein Rest ungleich null, obwohl f(1) = 1 − 2 − 5 + 6 = 0 ist, verrät den Fehler.
So prüfst du dein Ergebnis
Zurückmultiplizieren. (x − 1)(x² − x − 6) = x³ − x² − 6x − x² + x + 6 = x³ − 2x² − 5x + 6. Das ist das Ausgangspolynom. Vorher lohnt ein Blick auf f(a): Dieser Wert ist genau der Rest.