ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Periodische Dezimalzahlen
Mathematik · Klasse 7 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Zahl und Operation – Zahlen · Jg. 5/6
Woran man erkennt, ob ein Bruch eine periodische Dezimalzahl gibt, und wie man eine Periode in einen Bruch zurückverwandelt.
Worum es geht
Manche Brüche geben beim Teilen eine Dezimalzahl, die aufhört: 3/8 = 0,375. Andere geben eine, bei der sich eine Ziffernfolge ohne Ende wiederholt: 1/3 = 0,333… Die Folge, die sich wiederholt, heißt Periode und bekommt einen Strich: 0,3. Ziffern zwischen Komma und Periode heißen Vorperiode. Ob eine Dezimalzahl abbricht, entscheidet allein der Nenner.
Die Regeln
| Frage | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Abbrechend oder periodisch? | Bruch vollständig kürzen, Nenner zerlegen: nur Faktoren 2 und 5 → abbrechend, sonst periodisch | 7/40 = 0,175 (40 = 2³ · 5); 5/12 = 0,416 (12 = 2² · 3) |
| Periode ohne Vorperiode → Bruch | Periode durch so viele Neunen, wie sie Ziffern hat | 0,3 = 3/9 = 1/3; 0,27 = 27/99 = 3/11 |
| Mit Vorperiode → Bruch | x mit Zehnerpotenzen so verschieben, dass hinter dem Komma dasselbe steht, dann subtrahieren | 0,16: 100x − 10x = 16,6… − 1,6… = 15 → x = 15/90 = 1/6 |
| n-te Nachkommastelle | (Stelle − Länge der Vorperiode) durch Periodenlänge teilen; der Rest zeigt die Ziffer der Periode, Rest 0 die letzte | 3/7 = 0,428571: 20 : 6 = 3 Rest 2 → 2. Ziffer: 2 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Schreibe als vollständig gekürzten Bruch: 0,245
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Benennen | x = 0,24545… | die Vorperiode 2 hat eine Ziffer, die Periode 45 hat zwei |
| 2 · Vorperiode vors Komma | 10x = 2,4545… | mal 10 schiebt die Vorperiode vor das Komma; dahinter steht nur noch Periode |
| 3 · Eine Periode weiter | 1 000x = 245,4545… | noch einmal mal 100 schiebt genau eine Periode (zwei Ziffern) vor das Komma; hinter dem Komma steht dasselbe wie bei 10x |
| 4 · Subtrahieren | 1 000x − 10x = 990x = 245 − 2 = 243 | die unendlichen Schwänze sind gleich und fallen weg |
| 5 · Auflösen und kürzen | x = 243/990 = 27/110 | ggT(243, 990) = 9 |
Der typische Fehler
0,245 = 245/999 — die Neunerregel wird auf eine Zahl mit Vorperiode angewandt. Das fühlt sich richtig an, weil sie bei 0,27 = 27/99 so gut funktioniert hat. Die Regel gilt aber nur, wenn die Periode direkt hinter dem Komma beginnt: 245/999 = 0,245 = 0,245245…, eine andere Zahl. Mit Vorperiode braucht man den Weg über 10x und 1 000x.
So prüfst du dein Ergebnis
Zurückdividieren und den Nenner lesen. 27 : 110 = 0,24545…, das ist die Ausgangszahl. Der Nenner verrät außerdem die Form: 110 = 2 · 5 · 11. Die 11 macht die Zahl periodisch, und weil auch 2 und 5 im Nenner stehen, muss es eine Vorperiode geben. Beides passt.