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Oberfläche von Prismen
Mathematik · Klasse 8 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Größen und Messen – Messvorgänge · Jg. 7/8
Ein Prisma besteht aus zwei gleichen Grundflächen und einem Mantel aus Rechtecken. Mehr braucht man für die Oberfläche nicht.
Worum es geht
Die Oberfläche ist der Flächeninhalt aller Seitenflächen zusammen, so viel Papier, wie man zum Bekleben braucht. Ein gerades Prisma hat oben und unten die gleiche Grundfläche G. Dazwischen liegt der Mantel: aufgeklappt ein einziges Rechteck, so breit wie der Umfang u der Grundfläche und so hoch wie das Prisma.
Die Regeln
| Größe | Formel | Hinweis |
|---|---|---|
| Oberfläche | O = 2 · G + M | Grundfläche zweimal: Boden und Deckel |
| Mantelfläche | M = u · h | u = Umfang der Grundfläche, h = Höhe des Prismas |
| Dreieck als G | G = ½ · g · h_g | rechtwinklig: ½ · Kathete · Kathete |
| Trapez als G | G = (a + c)/2 · h_T | h_T ist die Trapezhöhe |
| gleichseitiges Dreieck | G = (√3/4) · a² | Sechseck: sechs solche Dreiecke |
| Höhe gesucht | h = (O − 2G) : u | die Formel rückwärts |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Die Grundfläche ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 6 cm und 8 cm und der Hypotenuse 10 cm. Das Prisma ist 12 cm hoch. Berechne die Oberfläche.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Grundfläche | G = ½ · 6 · 8 = 24 cm² | die Katheten stehen senkrecht aufeinander, eine ist die Höhe zur anderen |
| 2 · Umfang | u = 6 + 8 + 10 = 24 cm | alle drei Seiten, auch die Hypotenuse, tragen ein Mantelrechteck |
| 3 · Mantel | M = 24 · 12 = 288 cm² | der aufgeklappte Mantel ist ein Rechteck u mal h |
| 4 · Oberfläche | O = 2 · 24 + 288 = 336 cm² | Boden und Deckel kommen zum Mantel dazu |
Der typische Fehler
Die beiden Höhen verwechseln. Bei Dreiecks- und Trapezprismen stehen zwei Höhen in der Aufgabe: die Höhe der Grundfläche und die Höhe des Prismas. Beide heißen „Höhe“, deshalb landet schnell die falsche in der Formel. Die Höhe der Grundfläche gehört nur in G. Die Höhe des Prismas sagt, wie lang die Mantelrechtecke sind, und gehört nur in M = u · h.
So prüfst du dein Ergebnis
Flächen einzeln zählen. Ein Dreiecksprisma hat 5 Flächen: 2 Dreiecke und 3 Rechtecke. 6 · 12 + 8 · 12 + 10 · 12 = 72 + 96 + 120 = 288 cm², dazu 2 · 24 = 48 cm². Zusammen 336 cm². Passt, und die Einheit ist cm².