ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Nullstellen quadratischer Funktionen
Mathematik · Klasse 9–10 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 9/10
Hier steht, welches Verfahren zu welcher quadratischen Funktion passt und wie man die p-q-Formel sicher anwendet. Zwei Nullstellen gibt man als x₁ = …; x₂ = … an, der Größe nach.
Worum es geht
Eine Nullstelle ist ein x, für das f(x) = 0 ist; dort schneidet der Graph die x-Achse. Eine Parabel hat zwei, eine oder keine Nullstelle. Welche Methode am schnellsten ist, sieht man am Term: Fehlt das x-Glied, reicht die Wurzel. Fehlt die Zahl, klammert man x aus. Sonst hilft die p-q-Formel, die aber nur gilt, wenn vor x² eine 1 steht.
Die Regeln
| Form | Verfahren | Beispiel |
|---|---|---|
| ax² + c | nach x² auflösen, Wurzel ziehen, ± nicht vergessen | x² − 9 = 0 → x = ±3 |
| ax² + bx | x ausklammern, Satz vom Nullprodukt | x(x − 4) = 0 → x = 0 oder x = 4 |
| x² + px + q | p-q-Formel: x = −p/2 ± √((p/2)² − q) | x² − 2x − 8: x = 1 ± 3 → −2; 4 |
| ax² + bx + c | erst durch a teilen, oder abc-Formel x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) | 2x² − 3x − 2: x = (3 ± 5)/4 → −1/2; 2 |
| Wert unter der Wurzel | negativ: keine Nullstellen; null: genau eine | x² + 2x + 5: 1 − 5 < 0 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Berechne die Nullstellen von f(x) = x² + 2x − 15.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · p und q ablesen | p = 2, q = −15 | vor x² steht eine 1, die p-q-Formel darf also direkt verwendet werden |
| 2 · −p/2 | −2/2 = −1 | der x-Wert des Scheitels, die Mitte zwischen den Nullstellen |
| 3 · Radikand | (p/2)² − q = 1 − (−15) = 16 | q ist negativ, minus minus ergibt plus |
| 4 · Wurzel | √16 = 4 | positiver Radikand, also zwei Nullstellen |
| 5 · Nullstellen | x₁ = −1 − 4 = −5; x₂ = −1 + 4 = 3 | einmal minus, einmal plus die Wurzel |
Der typische Fehler
Die p-q-Formel anwenden, obwohl vor x² keine 1 steht. Bei 2x² + 4x − 30 = 0 setzt man dann p = 4 und q = −30 ein und erhält −2 ± √34. Das fühlt sich richtig an, weil die Zahlen an den passenden Stellen stehen. Die Formel ist aber nur für x² + px + q hergeleitet. Erst durch 2 teilen: x² + 2x − 15 = 0, und es kommen die richtigen Nullstellen −5 und 3 heraus.
So prüfst du dein Ergebnis
Einsetzen. f(−5) = 25 − 10 − 15 = 0 und f(3) = 9 + 6 − 15 = 0. Beide ergeben null, also stimmen sie. Schneller geht es mit dem Satz von Vieta: Die Summe der Nullstellen ist −p, hier −5 + 3 = −2, und das Produkt ist q, hier −5 · 3 = −15.