ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Normalverteilung
Mathematik · Klasse 13 · 4 Blätter · 51 Aufgaben
LehrplanHessen: Q3.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen · LK
Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Größen: standardisieren, Φ ablesen, Intervalle berechnen.
Worum es geht
Viele Messgrößen — Körpergrößen, Füllmengen, Messfehler — streuen glockenförmig um einen Mittelwert. Man beschreibt sie mit der Normalverteilung N(μ; σ²): μ ist der Erwartungswert, σ die Standardabweichung. Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Glockenkurve. Um sie zu berechnen, rechnet man jeden Wert in einen z-Wert um, der sagt, wie viele Standardabweichungen er von μ entfernt ist, und liest die Fläche bei der Standardnormalverteilung Φ ab.
Die Regeln
| Gesucht | Formel | Hinweis |
|---|---|---|
| z-Wert | z = (x − μ)/σ | σ, nicht σ² |
| P(X ≤ x) | Φ(z) | Tabelle oder GTR (normalcdf) |
| P(X ≥ x) | 1 − Φ(z) | die Gesamtfläche ist 1 |
| P(a ≤ X ≤ b) | Φ(z_b) − Φ(z_a) | obere Grenze minus untere |
| Faustregel | μ ± σ: ≈ 68,3 % · μ ± 2σ: ≈ 95,4 % | zum Überschlagen |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: X ~ N(100; 15²). Berechne P(85 ≤ X ≤ 130). (4 NKS)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · σ ablesen | σ = 15 | in N(100; 15²) steht die Varianz, die Standardabweichung ist ihre Wurzel |
| 2 · Standardisieren | z₁ = (85 − 100)/15 = −1 · z₂ = (130 − 100)/15 = 2 | so wird jede Normalverteilung auf dieselbe Tabelle Φ zurückgeführt |
| 3 · Φ-Werte | Φ(2) ≈ 0,97725 · Φ(−1) ≈ 0,15866 | Φ(z) ist die Fläche links von z |
| 4 · Differenz | 0,97725 − 0,15866 = 0,81859 | Fläche bis 130 minus Fläche bis 85 lässt genau das Intervall übrig |
| 5 · Runden | P ≈ 0,8186 | mit fünf Stellen weiterrechnen und erst am Ende auf vier runden, sonst kippt die letzte Stelle |
Der typische Fehler
Durch die Varianz statt durch σ geteilt: z = (130 − 100)/225 ≈ 0,13. Das fühlt sich richtig an, weil in N(100; 15²) die Zahl 225 als zweiter Parameter steht. Der z-Wert zählt aber in Standardabweichungen, und die ist 15. Mit 225 landen alle z-Werte nahe null, und fast jede Wahrscheinlichkeit kommt fälschlich in der Nähe von 0,5 heraus.
So prüfst du dein Ergebnis
Faustregel als Überschlag. Von μ − σ bis μ liegen etwa 34,1 %, von μ bis μ + 2σ etwa 47,7 %. Zusammen etwa 81,8 % — das Ergebnis 0,8186 passt. Außerdem: Ein Intervall, das μ enthält und mindestens eine Standardabweichung breit ist, hat sicher mehr als 0,34.