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Logarithmengesetze
Mathematik · Klasse 10–11 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
Hier steht, was ein Logarithmus ist, welche drei Gesetze man zum Rechnen braucht und wie man damit Gleichungen löst.
Worum es geht
Der Logarithmus beantwortet die Frage nach dem Exponenten: log₂(8) ist die Zahl, mit der man 2 potenzieren muss, um 8 zu erhalten, also 3. Allgemein heißt log_b(x) = y dasselbe wie bʸ = x. Mit lg ist der Logarithmus zur Basis 10 gemeint, mit ln der zur Basis e. Die Gesetze übersetzen Rechnungen mit Potenzen: Aus einem Produkt wird eine Summe, aus einem Quotienten eine Differenz, aus einer Potenz ein Produkt. Das Argument eines Logarithmus muss immer positiv sein.
Die Regeln
| Gesetz | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Definition | log_b(x) = y heißt bʸ = x | log₂(8) = 3, weil 2³ = 8 |
| Produkt | log_b(u · v) = log_b(u) + log_b(v) | lg(4) + lg(25) = lg(100) = 2 |
| Quotient | log_b(u/v) = log_b(u) − log_b(v) | log₃(54) − log₃(2) = log₃(27) = 3 |
| Potenz | log_b(uʳ) = r · log_b(u) | log₂(8⁵) = 5 · 3 = 15 |
| Exponentialgleichung | bˣ = c → x = ln(c)/ln(b) | 2ˣ = 10 → x ≈ 3,322 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Löse: log₂(x) + log₂(x + 2) = 3
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Produktgesetz | log₂(x(x + 2)) = 3 | zwei Logarithmen zur selben Basis werden zu einem zusammengefasst |
| 2 · Definition | x(x + 2) = 2³ = 8 | log₂(A) = 3 heißt 2³ = A; so verschwindet der Logarithmus |
| 3 · Ordnen | x² + 2x − 8 = 0 | eine quadratische Gleichung |
| 4 · Lösen | (x + 4)(x − 2) = 0 → x = −4 oder x = 2 | Satz vom Nullprodukt |
| 5 · Aussortieren | x = 2 | für x = −4 wäre log₂(−4) nicht definiert, das Argument muss positiv sein |
Der typische Fehler
Den Logarithmus einer Summe wie einen Logarithmus eines Produkts behandeln: log₂(4 + 4) = log₂(4) + log₂(4) = 4. Das fühlt sich richtig an, weil es aussieht wie das Auflösen einer Klammer. Das Gesetz gilt aber nur für Produkte, denn Logarithmen sind Exponenten, und Exponenten addieren sich beim Multiplizieren von Potenzen. Richtig ist log₂(8) = 3. Für eine Summe im Argument gibt es kein Gesetz.
So prüfst du dein Ergebnis
Einsetzen und den Definitionsbereich prüfen. x = 2 ergibt log₂(2) + log₂(4) = 1 + 2 = 3, die Gleichung stimmt. Jede Lösung muss außerdem alle Argumente positiv machen: 2 > 0 und 2 + 2 > 0. Eine Lösung, die ein Argument null oder negativ macht, wird gestrichen, auch wenn sie die quadratische Gleichung erfüllt.