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Kreisbogen & Kreisausschnitt
Mathematik · Klasse 9–10 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
Bogen und Ausschnitt sind Bruchteile des ganzen Kreises. Wer den Bruchteil zuerst bestimmt, braucht keine neuen Formeln.
Worum es geht
Ein Kreisausschnitt ist ein „Tortenstück“ mit dem Mittelpunktswinkel α. Er ist der Anteil α/360° des ganzen Kreises. Genau dieser Anteil gilt für den Bogen (vom Umfang 2πr) und für die Fläche (von πr²).
Die Regeln
| Größe | Formel | Hinweis |
|---|---|---|
| Bogenlänge | b = 2πr · α/360° | eine Länge, Einheit cm |
| Fläche des Ausschnitts | A = πr² · α/360° | eine Fläche, Einheit cm² |
| Zusammenhang | A = ½ · b · r | ohne α, gut zum Prüfen |
| Umfang des Ausschnitts | u = b + 2r | Bogen plus zwei Radien |
| Winkel gesucht | α = b · 360° / (2πr) | Formel umstellen |
| Bogenmaß | x = α · π/180° | 180° entsprechen π |
| Kreisabschnitt | Ausschnitt − ½r² · sin α | das Dreieck aus zwei Radien abziehen |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: r = 6 cm, α = 75°. Berechne Bogenlänge und Fläche des Kreisausschnitts. (2 NKS)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Anteil bestimmen | 75/360 = 5/24 | der Ausschnitt ist 5/24 des ganzen Kreises |
| 2 · ganzer Umfang | 2π · 6 = 12π | davon nimmt der Bogen seinen Anteil |
| 3 · Bogen | b = 5/24 · 12π = 2,5π ≈ 7,85 cm | erst mit π weiterrechnen, am Ende runden |
| 4 · ganze Fläche | π · 6² = 36π | der Radius wird zuerst quadriert |
| 5 · Ausschnitt | A = 5/24 · 36π = 7,5π ≈ 23,56 cm² | derselbe Anteil wie beim Bogen |
Der typische Fehler
Bogen und Fläche verwechseln. Wer für den Bogen πr² · α/360° nimmt, erhält 23,56 statt 7,85. Die Verwechslung liegt nahe, weil beide Formeln π und α/360° enthalten. Aber eine Länge kann nicht mit r² wachsen: Verdoppelt man den Radius, wird der Bogen doppelt, die Fläche viermal so groß. Die Einheit zeigt es sofort: cm für den Bogen, cm² für die Fläche.
So prüfst du dein Ergebnis
A = ½ · b · r. ½ · 7,854 · 6 ≈ 23,56. Stimmt mit dem Ergebnis überein. Außerdem muss b kleiner als der ganze Umfang (≈ 37,70 cm) sein und A kleiner als die ganze Kreisfläche.