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Kombinatorik
Mathematik · Klasse 10–11 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Q3.1 Grundlegende Begriffe und Methoden der Stochastik
Zählen, ohne aufzuzählen. Zwei Fragen entscheiden über die Formel: Kommt es auf die Reihenfolge an, und darf sich etwas wiederholen?
Worum es geht
Kombinatorik zählt Möglichkeiten. Bevor man rechnet, klärt man zwei Dinge: Ist ABC etwas anderes als CBA (geordnet) oder dasselbe (ungeordnet)? Und darf ein Element mehrfach vorkommen? Die Antworten wählen die Formel aus.
Die Regeln
| Situation | Anzahl | Beispiel |
|---|---|---|
| mehrere Stufen nacheinander | Produktregel: n₁ · n₂ · n₃ · … | 3 Vorspeisen, 4 Hauptgerichte: 3 · 4 = 12 |
| alle n in eine Reihenfolge | n! = n · (n − 1) · … · 1 | 4 Personen: 4! = 24 |
| k aus n, geordnet, ohne Wiederholung | n · (n − 1) · … · (n − k + 1) | Plätze 1 bis 3 bei 10 Läufern: 10 · 9 · 8 = 720 |
| k aus n, ungeordnet, ohne Wiederholung | C(n, k) = n! : (k! · (n − k)!) | 3 aus 10: 120 |
| k Stellen, n Zeichen, mit Wiederholung | nᵏ | 4-stellige PIN: 10⁴ = 10 000 |
| Wort mit gleichen Buchstaben | n! geteilt durch k! für jeden k-mal vorkommenden Buchstaben | ANANAS: 6! : (3! · 2!) = 60 |
| „mindestens einer“ | alle Möglichkeiten minus die ohne | Gegenereignis |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Aus 5 Frauen und 7 Männern wird ein Ausschuss von 4 Personen gebildet. Wie viele Ausschüsse enthalten mindestens eine Frau?
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Reihenfolge? | nein, ungeordnet | ein Ausschuss hat keine Plätze; dieselben 4 Personen sind derselbe Ausschuss |
| 2 · alle Ausschüsse | C(12, 4) = 12 · 11 · 10 · 9 : 24 = 495 | 4 aus 12 Personen, ohne Reihenfolge |
| 3 · Gegenereignis | nur Männer: C(7, 4) = 7 · 6 · 5 · 4 : 24 = 35 | „mindestens eine“ hätte viele Fälle, „keine“ nur einen |
| 4 · Abziehen | 495 − 35 = 460 | übrig bleiben genau die Ausschüsse mit einer oder mehr Frauen |
Der typische Fehler
Geordnet zählen, wo die Reihenfolge egal ist. Für den Ausschuss rechnet man 12 · 11 · 10 · 9 = 11 880, weil man die Personen ja nacheinander auswählt. Doch jede Gruppe von 4 Personen taucht dabei in 4! = 24 Reihenfolgen auf und wird 24-mal gezählt. 11 880 : 24 = 495 ist die richtige Anzahl aller Ausschüsse.
So prüfst du dein Ergebnis
Kleinen Fall aufzählen. Aus A, B, C zwei auswählen: AB, AC, BC, also 3 = C(3, 2). Geordnet wären es 6. Stimmt die Formel im kleinen Fall, stimmt die Wahl. Außerdem muss ein „mindestens“-Ergebnis kleiner als die Gesamtzahl sein.