ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Volumen & Oberfläche
Mathematik · Klasse 7–10 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Raum und Form – Körper · Jg. 7/8Hessen: Größen und Messen – Messvorgänge · Jg. 9/10
Volumen und Oberfläche von Quader, Zylinder, Kegel, Pyramide und Kugel — und warum man erst am Ende rundet.
Worum es geht
Das Volumen eines Körpers sagt, wie viele Einheitswürfel hineinpassen (cm³, m³); die Oberfläche ist die Summe aller Flächen, die ihn begrenzen (cm², m²). Für Quader, Prisma und Zylinder gilt dasselbe Prinzip: Volumen = Grundfläche mal Höhe. Spitze Körper wie Kegel und Pyramide haben genau ein Drittel davon.
Die Regeln
| Körper | Volumen | Oberfläche / Hinweis |
|---|---|---|
| Quader | V = a · b · c | O = 2 · (ab + ac + bc) |
| Zylinder | V = π · r² · h | Grundfläche ist ein Kreis |
| Kegel | V = ⅓ · π · r² · h | ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe |
| Quadratische Pyramide | V = ⅓ · a² · h | ein Drittel des Quaders mit gleicher Grundfläche und Höhe |
| Kugel | V = 4/3 · π · r³ | O = 4 · π · r² |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Zylinder mit r = 3 cm, h = 10 cm. Volumen? (2 NKS)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Grundfläche | G = π · 3² = 9π cm² | der Zylinder ist ein Stapel aus Kreisscheiben; eine davon ist die Grundfläche |
| 2 · Mal Höhe | V = 9π · 10 = 90π cm³ | zehn Zentimeter hoch gestapelt |
| 3 · Ausrechnen | 90π ≈ 282,743 | π bleibt bis hierher exakt stehen |
| 4 · Runden | V ≈ 282,74 cm³ | erst am Ende runden — mit G ≈ 28,27 wäre das Ergebnis 282,70, zwei Hundertstel daneben |
Der typische Fehler
Durchmesser statt Radius. Ist der Zylinder „6 cm breit“, rechnet man π · 6² · 10 ≈ 1130,97 cm³. Das fühlt sich richtig an, weil der Durchmesser die Zahl ist, die man misst oder die in der Aufgabe steht. Die Formel verlangt aber den Radius, und weil er quadriert wird, ist das Ergebnis nicht doppelt, sondern viermal zu groß.
So prüfst du dein Ergebnis
Überschlag mit π ≈ 3. 3 · 9 · 10 = 270, das Ergebnis 282,74 liegt knapp darüber — passt, weil π etwas größer als 3 ist. Dazu die Einheit: Volumen immer in cm³, Oberfläche in cm². Ein Ergebnis, das viermal zu groß ist, verrät den Durchmesser-Fehler.