ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Klammern auflösen
Mathematik · Klasse 7–8 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Zahl und Operation – Operationen und ihre Eigenschaften · Jg. 7/8
Hier steht, wie man eine Klammer auflöst und danach zusammenfasst. Alles hängt an einer Regel und an einem Vorzeichen, das man leicht übersieht.
Worum es geht
Steht ein Faktor vor einer Klammer, wird jeder Summand in der Klammer mit ihm multipliziert. Das heißt Distributivgesetz: 3(x + 2) = 3x + 6. Steht vor der Klammer ein Minus oder eine negative Zahl, ändern sich dabei alle Vorzeichen in der Klammer. Danach fasst man gleichartige Glieder zusammen: x-Glieder mit x-Gliedern, Zahlen mit Zahlen.
Die Regeln
| Fall | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Zahl vor der Klammer | jeden Summanden mit der Zahl multiplizieren | 4(2x − 3) = 8x − 12 |
| Minus vor der Klammer | Klammer weglassen, jedes Vorzeichen darin umdrehen | −(3x − 5) = −3x + 5 |
| negative Zahl vor der Klammer | mit der Zahl samt Minus multiplizieren | −2(x + 4) = −2x − 8 |
| Variable vor der Klammer | x · x = x² | x(3x + 2) = 3x² + 2x |
| Zusammenfassen | nur gleichartige Glieder addieren | 8x − 12 − 3x + 5 = 5x − 7 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Löse die Klammern auf und fasse zusammen: 3(2x − 4) − 2(x − 5)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Erste Klammer | 3(2x − 4) = 6x − 12 | 3 · 2x = 6x und 3 · (−4) = −12 |
| 2 · Zweite Klammer | −2(x − 5) = −2x + 10 | der Faktor ist −2, nicht 2: −2 · x = −2x und −2 · (−5) = +10 |
| 3 · Zusammensetzen | 6x − 12 − 2x + 10 | jetzt stehen keine Klammern mehr, nur noch Summanden |
| 4 · Zusammenfassen | 4x − 2 | x-Glieder: 6x − 2x = 4x; Zahlen: −12 + 10 = −2 |
Der typische Fehler
Das Minus vor der Klammer nur auf das erste Glied anwenden. Aus −2(x − 5) wird dann −2x − 10. Das fühlt sich richtig an, weil das Minus direkt neben dem x steht und man es in Gedanken nur dort „abgibt“. Es gehört aber zum Faktor −2, und der multipliziert beide Summanden: −2 · (−5) = +10. Mit x = 0 sieht man es sofort: −2(0 − 5) = 10, der falsche Term liefert −10.
So prüfst du dein Ergebnis
Mit x = 1 einsetzen, vorher und nachher. Der ursprüngliche Term ergibt 3 · (2 − 4) − 2 · (1 − 5) = −6 + 8 = 2. Das Ergebnis ergibt 4 · 1 − 2 = 2. Gleicher Wert, also stimmt die Umformung. Ein zweiter Test mit x = 0 prüft gezielt die Zahlen ohne x.