ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Hypothesentest
Mathematik · Klasse 12–13 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Q3.3 Hypothesentests
Ein Test legt vor der Stichprobe fest, welche Ergebnisse gegen die Nullhypothese sprechen. Diese Seite zeigt, wie der Ablehnungsbereich gefunden wird.
Worum es geht
Die Nullhypothese H₀ ist die bisherige Annahme über eine Wahrscheinlichkeit p. X ist die Anzahl der Treffer in einer Stichprobe vom Umfang n, unter H₀ binomialverteilt mit p₀. Der Ablehnungsbereich enthält die Trefferzahlen, die unter H₀ so selten sind, dass ihre Gesamtwahrscheinlichkeit höchstens α beträgt. Er wird so groß wie möglich gewählt.
Die Regeln
| Test | Ablehnungsbereich | Bedingung |
|---|---|---|
| rechtsseitig, H₁: p > p₀ | {k; …; n} | kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ α |
| linksseitig, H₁: p < p₀ | {0; …; k} | größtes k mit P(X ≤ k) ≤ α |
| zweiseitig, H₁: p ≠ p₀ | {0; …; k₁} ∪ {k₂; …; n} | beide Seiten mit α/2 |
| Umrechnen | P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1) | Tabellen und Rechner geben meist P(X ≤ k) |
| Fehler 1. Art | P(X im Ablehnungsbereich) mit p₀ | H₀ abgelehnt, obwohl sie stimmt; höchstens α |
| Fehler 2. Art | P(X nicht im Ablehnungsbereich) mit dem wahren p | H₀ beibehalten, obwohl sie falsch ist |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: H₀: p ≤ 0,3 gegen H₁: p > 0,3, n = 20, α = 5 %. Bestimme den Ablehnungsbereich.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Seite | H₁: p > 0,3 → rechtsseitig | viele Treffer sprechen gegen H₀ |
| 2 · Verteilung | X binomialverteilt mit n = 20, p = 0,3; Erwartungswert 6 | gerechnet wird immer mit dem Grenzwert p₀ = 0,3 |
| 3 · Kandidat | P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) ≈ 1 − 0,9520 = 0,0480 ≤ 0,05 | 10 oder mehr Treffer sind selten genug |
| 4 · Nachbar prüfen | P(X ≥ 9) = 1 − P(X ≤ 8) ≈ 1 − 0,8867 = 0,1133 > 0,05 | mit 9 wäre der Bereich zu groß |
| 5 · Ergebnis | Ablehnungsbereich {10; …; 20} | bei 10 oder mehr Treffern wird H₀ abgelehnt |
Der typische Fehler
Beim Umrechnen um eins verrutschen. Die Tabelle zeigt P(X ≤ 9) ≈ 0,9520 ≥ 0,95, also schreibt man den Ablehnungsbereich {9; …; 20}. Das liegt nahe, weil 9 die Zahl ist, bei der man die 0,95 gefunden hat. Aber 1 − P(X ≤ 9) ist P(X ≥ 10), nicht P(X ≥ 9). Der Bereich {9; …; 20} hätte die Wahrscheinlichkeit 0,1133 und damit mehr als α.
So prüfst du dein Ergebnis
Grenze und Nachbar ausrechnen. Für die Grenze muss die Wahrscheinlichkeit höchstens α sein, für den nächsten Wert nach innen größer als α. 0,0480 ≤ 0,05 und 0,1133 > 0,05. Passt. Zweiseitig macht man das auf beiden Seiten mit α/2.