ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Graphen verschieben & strecken
Mathematik · Klasse 10–11 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: E.1 Funktionen und ihre DarstellungHessen: Q2.1 Vertiefung der Analysis
Hier steht, wie Änderungen am Term den Graphen verschieben, strecken und spiegeln.
Worum es geht
Aus einem bekannten Graphen, etwa von x², √x oder |x|, entstehen neue Graphen, wenn man den Term leicht verändert. Was außen passiert, also mit dem fertigen Funktionswert, wirkt in y-Richtung und tut genau das, was dasteht. Was innen passiert, also mit x vor dem Einsetzen, wirkt in x-Richtung und tut das Gegenteil dessen, was man erwartet. In g(x) = a · f(x − d) + e wird zuerst gestreckt, dann verschoben.
Die Regeln
| Änderung | Wirkung | Beispiel |
|---|---|---|
| f(x) + e | um e nach oben (e < 0: nach unten) | x² + 3: 3 nach oben |
| f(x − d) | um d nach rechts; f(x + d) um d nach links | (x − 2)²: 2 nach rechts |
| a · f(x) | Streckung in y-Richtung mit Faktor a, für 0 < a < 1 Stauchung | 3x², 0,5|x| |
| −f(x) bzw. f(−x) | Spiegelung an der x-Achse bzw. an der y-Achse | −√x bzw. √(−x) |
| Punkt abbilden | für g(x) = a · f(x − d) + e: (x₀|y₀) → (x₀ + d|a · y₀ + e) | P(1|1), a = 2, d = 3, e = 1 → (4|3) |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Der Graph von f(x) = √x wird mit dem Faktor 2 in y-Richtung gestreckt und anschließend um 3 Einheiten nach links und um 1 Einheit nach unten verschoben. Gib g(x) an.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Strecken | 2√x | ein Faktor vor der Funktion verdoppelt jeden y-Wert |
| 2 · Nach links | 2√(x + 3) | x wird durch x + 3 ersetzt: den Wert, den der Graph bisher bei x = 0 hatte, hat er jetzt schon bei x = −3 |
| 3 · Nach unten | g(x) = 2√(x + 3) − 1 | außen 1 abziehen senkt alle y-Werte |
| 4 · Punkt verfolgen | P(4|2) → (4 − 3|2 · 2 − 1) = (1|3) | g(1) = 2 · √4 − 1 = 3, der Punkt liegt auf g |
Der typische Fehler
Die Richtung der Verschiebung in x-Richtung umdrehen. Viele lesen √(x + 3) als Verschiebung um 3 nach rechts. Das fühlt sich richtig an, weil ein Plus sonst immer in die positive Richtung zeigt, und bei „+ e“ außen stimmt das ja auch. Innen gilt es aber umgekehrt: Der Startpunkt von √x lag bei x = 0, und √(x + 3) ist genau dann √0, wenn x = −3 ist. Der Graph beginnt also 3 Einheiten weiter links.
So prüfst du dein Ergebnis
Einen markanten Punkt verfolgen und einsetzen. Berechne, wohin ein einfacher Punkt des Ausgangsgraphen wandert, und setze den neuen x-Wert in g ein. Hier: Der Startpunkt (0|0) von √x wandert nach (−3|−1), und g(−3) = 2 · √0 − 1 = −1. Stimmt der y-Wert, stimmt die Gleichung.