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Gleichungssysteme im Sachzusammenhang
Mathematik · Klasse 9 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 9/10
Hier steht, wie man aus einem Text mit zwei Unbekannten ein Gleichungssystem macht und löst. Die Antwort steht in der Reihenfolge der Aufgabe, getrennt durch ein Semikolon.
Worum es geht
Sind in einer Aufgabe zwei Größen unbekannt, braucht man zwei Buchstaben und zwei Gleichungen. Jede Information im Text liefert eine davon, oft eine über eine Anzahl und eine über einen Wert. Dann bringt man eine Unbekannte zum Verschwinden: Aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten wird eine Gleichung mit einer.
Die Regeln
| Schritt oder Verfahren | wann | Beispiel |
|---|---|---|
| Unbekannte festlegen | jede gesuchte Größe bekommt einen Buchstaben | h Hühner, k Kaninchen |
| Zwei Gleichungen | jede Information im Text liefert eine | h + k = 20; 2h + 4k = 56 |
| Additionsverfahren | gleiche oder leicht angleichbare Faktoren | x + y = 50 und x − y = 14 addieren: 2x = 64 |
| Einsetzungsverfahren | eine Gleichung ist schon aufgelöst | x = 2y + 3 in x + y = 30 einsetzen |
| Gleichsetzungsverfahren | beide nach derselben Variablen aufgelöst | y = 2x + 1 und y = −x + 7: 2x + 1 = −x + 7 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Für eine Vorstellung wurden 120 Karten verkauft, die Einnahmen betrugen 1000 €. Eine Karte für Erwachsene kostet 10 €, eine für Kinder 6 €. Wie viele Erwachsene und wie viele Kinder waren da? (Antwort: Erwachsene; Kinder)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Unbekannte | E Erwachsene, K Kinder | zwei gesuchte Größen, zwei Buchstaben |
| 2 · Anzahl | E + K = 120 | erste Information: so viele Karten insgesamt |
| 3 · Einnahmen | 10E + 6K = 1000 | zweite Information: jede Karte bringt ihren Preis |
| 4 · Erste Gleichung ·6 | 6E + 6K = 720 | K bekommt in beiden Gleichungen denselben Faktor, beide Seiten werden multipliziert |
| 5 · Subtrahieren | 4E = 280 → E = 70 | K fällt weg, es bleibt eine Gleichung mit einer Unbekannten |
| 6 · Einsetzen | 70 + K = 120 → K = 50 | die zweite Unbekannte aus der einfacheren Gleichung |
Der typische Fehler
Beim Angleichen nur die linke Seite multiplizieren. Aus E + K = 120 wird dann 6E + 6K = 120. Das fühlt sich richtig an, weil man ja nur die Faktoren vor den Variablen passend machen will. Eine Gleichung bleibt aber nur wahr, wenn beide Seiten mit derselben Zahl multipliziert werden. Mit dem Fehler kommt 4E = 880 heraus, also E = 220, mehr Erwachsene als überhaupt Karten verkauft wurden.
So prüfst du dein Ergebnis
Beide Aussagen des Textes nachrechnen. 70 + 50 = 120 Karten, und 70 · 10 € + 50 · 6 € = 700 € + 300 € = 1000 €. Beide stimmen. Anzahlen müssen außerdem ganze, nicht negative Zahlen sein. Zuletzt die Reihenfolge der Antwort prüfen: erst Erwachsene, dann Kinder, also 70; 50.