ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Lineare Gleichungssysteme
Mathematik · Klasse 8–10 · 4 Blätter · 51 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Funktionen und Gleichungen · Jg. 9/10
Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte: das Additionsverfahren Schritt für Schritt, mit Probe.
Worum es geht
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen x und y. Gesucht ist das Zahlenpaar, das beide Gleichungen zugleich erfüllt. Die Idee aller Verfahren: eine Variable verschwinden lassen, sodass eine gewöhnliche Gleichung mit nur einer Unbekannten übrig bleibt. Beim Additionsverfahren macht man die Koeffizienten einer Variablen zu Gegenzahlen und addiert die Gleichungen.
Die Regeln
| Verfahren | Vorgehen | Gut, wenn … |
|---|---|---|
| Additionsverfahren | Gleichungen so malnehmen, dass vor x oder y Gegenzahlen stehen, dann addieren | die Koeffizienten schon fast passen |
| Einsetzungsverfahren | eine Gleichung nach x oder y auflösen, in die andere einsetzen | eine Variable schon allein steht |
| Gleichsetzungsverfahren | beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen, gleichsetzen | beide die Form y = … haben |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: (I) 2x + 3y = 12 · (II) 3x − 2y = 5
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Ziel wählen | y soll wegfallen: 3y und −2y → 6y und −6y | bei y sind die Vorzeichen schon verschieden, man muss nur auf dasselbe Vielfache kommen |
| 2 · Malnehmen | (I) · 2: 4x + 6y = 24 · (II) · 3: 9x − 6y = 15 | jede Gleichung ganz, beide Seiten — sonst stimmt sie nicht mehr |
| 3 · Addieren | 13x = 39 | 6y und −6y heben sich auf; übrig bleibt eine Gleichung mit einer Unbekannten |
| 4 · Auflösen | x = 3 | durch 13 teilen |
| 5 · Einsetzen | (I): 6 + 3y = 12 → y = 2 | mit dem bekannten x liefert eine Gleichung den zweiten Wert |
Der typische Fehler
Nur eine Seite malgenommen: aus 2x + 3y = 12 wird 4x + 6y = 12. Das fühlt sich richtig an, weil man ja nur die 3y in 6y verwandeln wollte. Eine Gleichung ist aber eine Waage: Wer links verdoppelt, muss rechts auch verdoppeln. Sonst entsteht eine neue Gleichung mit einer anderen Lösung, und das System liefert falsche Zahlen, die trotzdem „glatt“ aussehen können.
So prüfst du dein Ergebnis
Probe in beiden Gleichungen. (I): 2 · 3 + 3 · 2 = 12. (II): 3 · 3 − 2 · 2 = 5. Wichtig ist vor allem die Gleichung, in die du nicht eingesetzt hast — die andere stimmt fast immer, weil y ja aus ihr berechnet wurde.