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Geraden im Raum
Mathematik · Klasse 12 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Q2.3 Geraden und Ebenen im Raum
Eine Gerade im Raum ist ein Startpunkt plus beliebig viele Schritte in eine Richtung. Diese Seite zeigt, wie man zwei Geraden vergleicht, ohne einen Fall zu übersehen.
Worum es geht
Vektoren werden hier als (a | b | c) geschrieben. Die Parametergleichung g: x⃗ = A + r · u⃗ beschreibt alle Punkte der Geraden: A ist der Stützvektor, u⃗ der Richtungsvektor, jeder Wert von r liefert einen Punkt. Anders als in der Ebene gibt es im Raum vier Lagen zweier Geraden, darunter windschief: nicht parallel und trotzdem ohne gemeinsamen Punkt.
Die Regeln
| Aufgabe | Vorgehen | Ergebnis |
|---|---|---|
| Gerade durch A und B | x⃗ = A + r · AB⃗ mit AB⃗ = B − A | Parametergleichung |
| Punktprobe | P = A + r · u⃗ zeilenweise nach r lösen | dreimal dasselbe r: P liegt auf g |
| Lage, Schritt 1 | Sind u⃗ und v⃗ Vielfache? | ja: Punktprobe mit dem Stützpunkt von h |
| Lage, Schritt 2a | Stützpunkt von h liegt auf g | identisch, sonst parallel |
| Lage, Schritt 2b | nicht Vielfache: gleichsetzen, drei Gleichungen | lösbar: schneidend, sonst windschief |
| Schnittwinkel | cos φ = |u⃗ · v⃗| / (|u⃗| · |v⃗|) | Betrag: Winkel zwischen 0° und 90° |
| Abstand Punkt–Gerade | d = |AP⃗ × u⃗| / |u⃗| | in Längeneinheiten |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: g: x⃗ = (1 | 2 | 0) + r · (1 | −1 | 2) und h: x⃗ = (2 | −2 | 5) + s · (1 | 2 | −1). Untersuche die Lage und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Richtungen | (1 | −1 | 2) ist kein Vielfaches von (1 | 2 | −1) | also weder parallel noch identisch |
| 2 · Gleichsetzen | I: 1 + r = 2 + s · II: 2 − r = −2 + 2s · III: 2r = 5 − s | ein gemeinsamer Punkt muss alle drei Koordinaten erfüllen |
| 3 · Zwei Gleichungen lösen | aus I: r = 1 + s; in II: 1 − s = −2 + 2s → s = 1, r = 2 | zwei Unbekannte brauchen zwei Gleichungen |
| 4 · Dritte prüfen | III: 2 · 2 = 4 und 5 − 1 = 4 | erst die dritte Gleichung entscheidet: schneidend |
| 5 · Schnittpunkt | r = 2 in g: S(3 | 0 | 4) | Parameter in die eigene Gerade einsetzen |
Der typische Fehler
Nur zwei der drei Gleichungen verwenden. Aus zwei Gleichungen erhält man immer Werte für r und s, und dann scheint die Sache erledigt: zwei Unbekannte, zwei Gleichungen. Im Raum gibt es aber drei Koordinaten. Erst wenn auch die dritte Gleichung stimmt, schneiden sich die Geraden. Stimmt sie nicht, sind sie windschief.
So prüfst du dein Ergebnis
Beide Parameter einsetzen. g mit r = 2: (1 + 2 | 2 − 2 | 0 + 4) = (3 | 0 | 4). h mit s = 1: (2 + 1 | −2 + 2 | 5 − 1) = (3 | 0 | 4). Derselbe Punkt. Passt.