ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Geometrie: Sätze & Konstruktionen
Kongruenz, Strahlensätze, Kreissätze
Mathematik · Klasse 7–10 · 1 Blatt · 0 Aufgaben
Die Sätze, nach denen in Geometrieaufgaben gefragt wird, und die Bedingung, unter der jeder gilt. Die Bedingung ist wichtiger als die Formel — ein Satz, der nicht anwendbar ist, liefert eine falsche Zahl ohne Fehlermeldung.
Kongruenzsätze
| Satz | Bedingung | Anmerkung |
|---|---|---|
| SSS | drei Seiten stimmen überein | immer eindeutig |
| SWS | zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel | der Winkel muss zwischen den Seiten liegen |
| WSW | eine Seite und die beiden anliegenden Winkel | auch als SWW, da die Winkelsumme den dritten liefert |
| SsW | zwei Seiten und der Winkel gegenüber der längeren | nur mit der längeren Seite eindeutig |
Ähnlichkeit & Strahlensätze
| Satz | Formel | gilt wenn |
|---|---|---|
| 1. Strahlensatz | ZA : ZB = ZA′ : ZB′ | zwei Strahlen von Z, parallele Schnittgeraden |
| 2. Strahlensatz | ZA : ZB = AA′ : BB′ | dito — Abschnitte auf den Parallelen |
| Ähnlichkeit (WW) | zwei Winkel gleich | dann sind alle drei gleich |
| Streckfaktor k | k = Bildlänge / Urbildlänge | Flächen wachsen mit k², Volumina mit k³ |
Sätze am Kreis
| Satz | Aussage | |
|---|---|---|
| Satz des Thales | Der Winkel im Halbkreis ist 90°. | |
| Umfangswinkelsatz | Alle Umfangswinkel über derselben Sehne sind gleich groß. | |
| Mittelpunktswinkelsatz | Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel über derselben Sehne. | |
| Sehnen-Tangenten-Winkel | gleich dem Umfangswinkel über derselben Sehne | |
| Tangente | steht senkrecht auf dem Berührradius |
Im schiefwinkligen Dreieck
| Satz | Formel | wann |
|---|---|---|
| Sinussatz | a / sin α = b / sin β = c / sin γ | SSW oder WWS gegeben |
| Kosinussatz | c² = a² + b² − 2ab·cos γ | SWS oder SSS gegeben |
| Fläche | A = ½·a·b·sin γ | zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel |
| Heron | A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), s = (a+b+c)/2 | drei Seiten |
Besondere Linien im Dreieck
| Linie | Schnittpunkt | Eigenschaft |
|---|---|---|
| Mittelsenkrechte | Umkreismittelpunkt | gleich weit von allen Ecken |
| Winkelhalbierende | Inkreismittelpunkt | gleich weit von allen Seiten |
| Seitenhalbierende | Schwerpunkt | teilt im Verhältnis 2 : 1 von der Ecke aus |
| Höhe | Höhenschnittpunkt | bei stumpfen Dreiecken außerhalb |
Der häufigste Fehler
Der Strahlensatz wird auf eine Figur angewandt, in der die Schnittgeraden nicht parallel sind — dann stimmt keines der Verhältnisse. Vor dem Ansetzen prüfen: Sind die beiden Geraden wirklich parallel, oder sieht es in der Zeichnung nur so aus? Gleiches beim Satz des Thales: Der Punkt muss auf dem Kreis liegen, nicht in seiner Nähe.