Analysis, analytische Geometrie und Stochastik auf einem Blatt. In der Klausur ist meist eine Formelsammlung zugelassen — das hier ist die Kurzfassung, die trotzdem im Kopf sein sollte.
Ableitungen
| f(x) | f′(x) | Regel |
|---|
| xⁿ | n · xⁿ⁻¹ | Potenzregel |
| eˣ | eˣ | |
| e^(kx) | k · e^(kx) | Kettenregel |
| ln x | 1/x | |
| sin x | cos x | |
| cos x | −sin x | |
| u · v | u′v + uv′ | Produktregel |
| u / v | (u′v − uv′) / v² | Quotientenregel |
| u(v(x)) | u′(v(x)) · v′(x) | Kettenregel |
Integrale
| f(x) | F(x) | |
|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C | |
| 1/x | ln|x| + C | |
| eˣ | eˣ + C | |
| e^(kx) | 1/k · e^(kx) + C | |
| sin x | −cos x + C | |
| cos x | sin x + C | |
| Bestimmtes Integral | ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) | |
| Fläche zwischen Kurven | ∫ₐᵇ (f(x) − g(x)) dx, f oberhalb g | |
Kurvendiskussion
| Gesucht | Bedingung | |
|---|
| Nullstellen | f(x) = 0 | |
| Extremstellen | f′(x) = 0 und f″(x) ≠ 0 | |
| Hochpunkt | f′(x) = 0, f″(x) < 0 | |
| Tiefpunkt | f′(x) = 0, f″(x) > 0 | |
| Wendepunkt | f″(x) = 0 und f‴(x) ≠ 0 | |
| Symmetrie zur y-Achse | f(−x) = f(x) | |
| Punktsymmetrie zum Ursprung | f(−x) = −f(x) | |
Vektoren
| Größe | Formel | |
|---|
| Betrag | |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²) | |
| Skalarprodukt | a⃗ · b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ | |
| Winkel | cos φ = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|) | |
| Orthogonalität | a⃗ · b⃗ = 0 | |
| Geradengleichung | x⃗ = p⃗ + t · u⃗ | |
| Ebene (Parameterform) | x⃗ = p⃗ + s·u⃗ + t·v⃗ | |
| Abstand Punkt–Ebene | d = |n⃗ · (x⃗ − p⃗)| / |n⃗| | |
Stochastik
| Größe | Formel | |
|---|
| Binomialverteilung | P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ | |
| Erwartungswert (binomial) | μ = n · p | |
| Standardabweichung | σ = √(n · p · (1 − p)) | |
| Bedingte Wahrscheinlichkeit | P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) | |
| Unabhängigkeit | P(A ∩ B) = P(A) · P(B) | |
| Normalverteilung | z = (x − μ) / σ, dann Φ(z) aus der Tabelle | |
| Sigma-Regeln | 68,3 % in μ ± σ · 95,4 % in μ ± 2σ · 99,7 % in μ ± 3σ | |
Wachstum
| Modell | Gleichung | |
|---|
| Lineares Wachstum | N(t) = N₀ + a · t | |
| Exponentielles Wachstum | N(t) = N₀ · qᵗ bzw. N₀ · e^(kt) | |
| Halbwertszeit | N(t) = N₀ · 0,5^(t/T½) | |
| Verdopplungszeit | T = ln 2 / ln q | |
| Begrenztes Wachstum | N(t) = S − (S − N₀) · e^(−kt) | |
Zirkelschlag