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Folgen & Reihen
Mathematik · Klasse 11–12 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: E.7 Folgen und Reihen (nicht verbindlich)
Arithmetische und geometrische Folgen: das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder.
Worum es geht
Bei einer arithmetischen Folge kommt von Glied zu Glied immer dieselbe Zahl d dazu: 4, 7, 10, 13, … (d = 3). Bei einer geometrischen Folge wird immer mit demselben Faktor q malgenommen: 3, 6, 12, 24, … (q = 2). Eine Reihe ist die Summe der ersten n Glieder einer Folge. Für beide Folgenarten gibt es Formeln, mit denen man ein weit entferntes Glied oder eine lange Summe ohne Aufzählen berechnet.
Die Regeln
| Folge | n-tes Glied | Summe der ersten n Glieder |
|---|---|---|
| arithmetisch | aₙ = a₁ + (n − 1) · d | Sₙ = n/2 · (a₁ + aₙ) = n/2 · (2a₁ + (n − 1)d) |
| geometrisch | aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹ | Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1)/(q − 1), q ≠ 1 |
| Beispiel arithmetisch | a₁ = 1, d = 2: a₅ = 9 | S₅ = 5/2 · (1 + 9) = 25 |
| Beispiel geometrisch | a₁ = 1, q = 3: a₄ = 27 | S₄ = (81 − 1)/2 = 40 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Arithmetische Folge mit a₁ = 4, d = 3. Berechne a₂₀ und S₂₀.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Schritte zählen | von a₁ bis a₂₀ sind es 19 Schritte | das erste Glied ist schon da; zu jedem weiteren kommt einmal d dazu |
| 2 · Glied | a₂₀ = 4 + 19 · 3 = 61 | Startwert plus 19-mal der Abstand |
| 3 · Summe | S₂₀ = 20/2 · (4 + 61) | erstes und letztes, zweites und vorletztes Glied … ergeben jeweils 65; es gibt 10 solche Paare |
| 4 · Ergebnis | S₂₀ = 10 · 65 = 650 | Anzahl der Paare mal Paarsumme — der Trick, mit dem man auch 1 + 2 + … + 100 im Kopf rechnet |
Der typische Fehler
n statt n − 1 Schritte: a₂₀ = 4 + 20 · 3 = 64. Das fühlt sich richtig an, weil nach dem 20. Glied gefragt ist. Es ist der Zaunpfahlfehler: 20 Pfosten haben nur 19 Zwischenräume. Der Test mit einem kleinen n zeigt es sofort — für n = 1 muss die Formel a₁ selbst liefern, und das tut nur a₁ + (1 − 1) · d.
So prüfst du dein Ergebnis
Kleine Fälle ausschreiben. Setze n = 1 und n = 2 in deine Formel ein und vergleiche mit der Folge: a₁ = 4, a₂ = 7. Für die Summe gilt: Sie ist Anzahl mal Durchschnitt der Glieder, und der Durchschnitt liegt zwischen erstem und letztem Glied — hier 650 : 20 = 32,5, genau zwischen 4 und 61.