ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Faktorisieren
Mathematik · Klasse 8–9 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Zahl und Operation – Operationen und ihre Eigenschaften · Jg. 7/8
Ausklammern und Faktorisieren von x² + bx + c — die Rückrichtung des Ausmultiplizierens.
Worum es geht
Faktorisieren heißt, eine Summe als Produkt zu schreiben. Das ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens: Aus x² − 2x − 15 wird (x + 3)(x − 5). Ein Produkt ist praktischer, weil man daran sofort ablesen kann, wann der Term null wird — nämlich wenn einer der Faktoren null ist. Zuerst prüft man immer, ob sich ein gemeinsamer Faktor ausklammern lässt.
Die Regeln
| Verfahren | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Ausklammern | den größten gemeinsamen Faktor vor die Klammer ziehen | 6x + 9 = 3(2x + 3) |
| x² + bx + c | zwei Zahlen m, n suchen mit m · n = c und m + n = b; dann (x + m)(x + n) | x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) |
| Differenz von Quadraten | 3. binomische Formel rückwärts | x² − 16 = (x + 4)(x − 4) |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: x² − 2x − 15
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Bedingungen aufschreiben | m · n = −15 · m + n = −2 | beim Ausmultiplizieren von (x + m)(x + n) entsteht genau x² + (m + n)x + m · n |
| 2 · Vorzeichen klären | eine Zahl positiv, eine negativ | nur dann ist das Produkt negativ |
| 3 · Paare testen | 1 und 15, 3 und 5 → 3 + (−5) = −2 | die Summe ist negativ, also bekommt die betragsgrößere Zahl das Minus |
| 4 · Hinschreiben | (x + 3)(x − 5) | m = 3 und n = −5 in die Klammern einsetzen |
| 5 · Probe | x² − 5x + 3x − 15 = x² − 2x − 15 | Ausmultiplizieren muss den Ausgangsterm ergeben |
Der typische Fehler
Vorzeichen in den Klammern vertauscht: (x − 3)(x + 5). Die Zahlen 3 und 5 sind richtig gefunden, deshalb fühlt sich das Ergebnis fertig an. Ausmultipliziert ergibt es aber x² + 2x − 15 — das Mischglied hat das falsche Vorzeichen. Oft steckt dahinter eine Verwechslung mit den Nullstellen: Der Term wird bei x = −3 und x = 5 null, in der Klammer stehen aber x + 3 und x − 5.
So prüfst du dein Ergebnis
Ausmultiplizieren. Jede Faktorisierung lässt sich in wenigen Sekunden zurückrechnen. Achte besonders auf das mittlere Glied: Stimmen x² und die Zahl, aber das Vorzeichen vor dem x nicht, sind die beiden Vorzeichen in den Klammern vertauscht.