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Extremwertaufgaben
Mathematik · Klasse 11–12 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: E.3 Anwendungen des Ableitungsbegriffs
Jede Extremwertaufgabe folgt demselben Ablauf. Wer die Schritte einhält, muss nur die Nebenbedingung richtig aus dem Text lesen.
Worum es geht
Eine Größe soll so groß oder so klein wie möglich werden: eine Fläche, ein Volumen, ein Materialverbrauch. Meist hängt sie von zwei Variablen ab, die durch eine Bedingung verbunden sind. Man macht daraus eine Funktion einer Variablen und sucht ihr Maximum oder Minimum mit der Ableitung.
Die Regeln
| Schritt | Inhalt | Beispiel Zaun |
|---|---|---|
| Hauptbedingung | Formel für die Größe, die extrem werden soll | A = x · y |
| Nebenbedingung | Zusammenhang der Variablen aus dem Text | 2x + y = 40 |
| Zielfunktion | Nebenbedingung auflösen und einsetzen | A(x) = x(40 − 2x) |
| Definitionsbereich | welche x sind sinnvoll? | 0 < x < 20 |
| Extremstelle | A′(x) = 0 lösen | x = 10 |
| Art prüfen | A″ < 0: Maximum, A″ > 0: Minimum; Ränder vergleichen | A″ = −4 < 0 |
| Antwort | alle gefragten Größen angeben | x, y und A |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Ein rechteckiges Beet grenzt mit einer Seite an eine Mauer. Die drei übrigen Seiten werden mit 40 m Zaun eingefasst. Wie lang müssen die Seiten sein, damit die Fläche maximal wird?
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Variablen | x senkrecht zur Mauer, y parallel zur Mauer | zwei Seiten x brauchen Zaun, die Seite y nur einmal |
| 2 · Nebenbedingung | 2x + y = 40 → y = 40 − 2x | an der Mauer wird kein Zaun gebraucht |
| 3 · Zielfunktion | A(x) = x(40 − 2x) = −2x² + 40x | jetzt hängt A nur noch von x ab |
| 4 · Ableitung null | A′(x) = −4x + 40 = 0 → x = 10 | am Hochpunkt ist die Steigung null |
| 5 · Art | A″(x) = −4 < 0 → Maximum | der Graph ist eine nach unten offene Parabel |
| 6 · Antwort | x = 10 m, y = 20 m, A = 200 m² | y aus der Nebenbedingung |
Der typische Fehler
Den Umfang des ganzen Rechtecks als Nebenbedingung nehmen. Wer 2x + 2y = 40 schreibt, erhält ein Quadrat mit 10 m × 10 m und 100 m². Die Formel für den Rechtecksumfang kennt man gut, deshalb greift man zu ihr. Aber die Seite an der Mauer bekommt keinen Zaun. Die Nebenbedingung muss genau das beschreiben, was der Text begrenzt.
So prüfst du dein Ergebnis
Nachbarwerte einsetzen. x = 9 ergibt 9 · 22 = 198 m², x = 11 ergibt 11 · 18 = 198 m². Beide sind kleiner als 200 m². Passt. Außerdem muss die Zaunlänge stimmen: 10 + 10 + 20 = 40 m.