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Erwartungswert
Mathematik · Klasse 10–11 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Q3.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Der Erwartungswert sagt, was ein Spiel auf lange Sicht pro Runde bringt. Die Rechnung ist eine gewichtete Summe; der Fehler steckt fast immer im Einsatz.
Worum es geht
Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Ausgang eine Zahl zu, etwa den Gewinn. Der Erwartungswert E(X) ist der Mittelwert, der sich bei sehr vielen Wiederholungen einstellt. Jeder Wert zählt so stark, wie er wahrscheinlich ist.
Die Regeln
| Größe | Formel | Hinweis |
|---|---|---|
| Erwartungswert | E(X) = x₁ · P(X = x₁) + x₂ · P(X = x₂) + … | jeder Wert mal seine Wahrscheinlichkeit |
| Kontrolle | alle P(X = xᵢ) ergeben 1 | fehlt eine, fehlt ein Fall |
| Gewinn | Gewinn = Auszahlung − Einsatz | auch bei „nichts“ ist der Einsatz weg |
| faires Spiel | E(Gewinn) = 0, also Einsatz = E(Auszahlung) | auf Dauer gewinnt niemand |
| Varianz | V(X) = Σ (xᵢ − E(X))² · P(X = xᵢ) | mittlere quadratische Abweichung |
| Standardabweichung | σ = √V(X) | gleiche Einheit wie X |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Man zahlt 2 € Einsatz und wirft einen Würfel. Bei einer 6 erhält man 8 €, bei einer 5 erhält man 3 €, sonst nichts. Berechne den Erwartungswert des Gewinns. (2 NKS)
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Gewinne je Fall | 6: 8 − 2 = 6 € · 5: 3 − 2 = 1 € · sonst: 0 − 2 = −2 € | der Einsatz ist in jedem Fall bezahlt |
| 2 · Wahrscheinlichkeiten | 1/6 · 1/6 · 4/6 | zusammen 6/6 = 1 |
| 3 · Gewichtete Summe | 6 · 1/6 + 1 · 1/6 + (−2) · 4/6 = 6/6 + 1/6 − 8/6 | jeder Gewinn so oft, wie er zu erwarten ist |
| 4 · Ergebnis | E = −1/6 ≈ −0,17 € | im Mittel verliert man 17 Cent pro Spiel |
Der typische Fehler
„Sonst nichts“ als Gewinn 0 € zählen. Dann ergibt sich 6/6 + 1/6 + 0 = 7/6 ≈ +1,17 €, und das Spiel scheint sich zu lohnen. Der Text sagt ja „nichts“. Aber „nichts“ ist die Auszahlung; der Einsatz von 2 € ist trotzdem weg. Der Gewinn in diesen vier Fällen ist −2 €.
So prüfst du dein Ergebnis
Zweiter Rechenweg. Erwartete Auszahlung: 8 · 1/6 + 3 · 1/6 = 11/6 ≈ 1,83 €. Minus Einsatz 2 € ergibt −1/6 ≈ −0,17 €. Beide Wege stimmen überein. Außerdem liegt E immer zwischen dem kleinsten und dem größten möglichen Wert.