ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Definitions- & Wertebereich
Mathematik · Klasse 10–11 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: E.1 Funktionen und ihre Darstellung
Hier steht, welche x man in eine Funktion einsetzen darf und welche Werte herauskommen können, und wie man beides als Menge oder Intervall aufschreibt.
Worum es geht
Die Definitionsmenge D enthält alle x, für die sich f(x) berechnen lässt. Maximal ist sie, wenn man nur die x ausschließt, bei denen eine Rechnung verboten ist: durch null teilen, eine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, den Logarithmus einer Zahl bilden, die nicht positiv ist. Die Wertemenge W enthält alle Funktionswerte, die dabei herauskommen. Man schreibt sie als Menge wie D = ℝ \ {3} oder als Intervall wie D = [2; ∞[.
Die Regeln
| Baustein | Bedingung | Beispiel |
|---|---|---|
| Bruch | Nenner ≠ 0 | 5/(x − 3): D = ℝ \ {3} |
| Wurzel | Radikand ≥ 0 | √(x + 2): x ≥ −2, D = [−2; ∞[ |
| Logarithmus | Argument > 0 | ln(x − 1): x > 1, D = ]1; ∞[ |
| Parabel a(x − d)² + e | W beginnt am Scheitel: a > 0 → [e; ∞[, a < 0 → ]−∞; e] | (x − 1)² + 4: W = [4; ∞[ |
| Intervallklammern | Klammer nach innen: Grenze gehört dazu; nach außen: nicht; bei ∞ immer nach außen | [2; ∞[ enthält 2, ]2; ∞[ nicht |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Gib die maximale Definitionsmenge D von f(x) = √(6 − 2x) an.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Bedingung | 6 − 2x ≥ 0 | unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen; null ist erlaubt |
| 2 · | −6 | −2x ≥ −6 | eine Ungleichung, die wie eine Gleichung umgeformt wird |
| 3 · | :(−2) | x ≤ 3 | Teilen durch eine negative Zahl dreht das Zeichen um |
| 4 · Als Intervall | D = ]−∞; 3] | die 3 gehört dazu, weil √0 = 0 existiert, deshalb zeigt die Klammer bei 3 nach innen |
Der typische Fehler
Beim Logarithmus die Grenze mitnehmen. Für ln(x − 1) schreiben viele D = [1; ∞[. Das fühlt sich richtig an, weil man es von der Wurzel so kennt und die Rechnung gleich aussieht. Bei der Wurzel ist null aber erlaubt, beim Logarithmus nicht: Es gibt keinen Exponenten y mit eʸ = 0, also ist ln(0) nicht definiert. Richtig ist D = ]1; ∞[.
So prüfst du dein Ergebnis
Die Grenze und je eine Zahl auf beiden Seiten einsetzen. x = 3 ergibt √0 = 0, erlaubt, also gehört 3 dazu. x = 0 ergibt √6, erlaubt, also liegt die linke Seite in D. x = 4 ergibt √(−2), verboten, also gehört die rechte Seite nicht dazu. Das Intervall ]−∞; 3] beschreibt genau das.