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Quartile & Boxplot
Mathematik · Klasse 8–10 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Daten und Zufall – statistische Erhebungen · Jg. 7/8
Fünf Kennwerte beschreiben eine Datenreihe, und ein Boxplot zeigt sie. Diese Seite legt fest, wie die Quartile auf unseren Blättern bestimmt werden.
Worum es geht
Ein Boxplot teilt die geordneten Daten in vier Viertel. Die Box reicht vom unteren Quartil Q₁ bis zum oberen Quartil Q₃ und enthält die mittlere Hälfte der Daten; der Strich in der Box ist der Median. Die Antennen reichen bis zum Minimum und Maximum.
Die Regeln
| Kennwert | So bestimmt man ihn | Hinweis |
|---|---|---|
| zuerst | Daten der Größe nach ordnen | ohne Ordnen ist jeder Kennwert falsch |
| Median | ungerade Anzahl: mittlerer Wert; gerade Anzahl: Mittel der beiden mittleren | 11 Werte: der 6. Wert |
| Q₁, Q₃ | Median der unteren bzw. oberen Datenhälfte | bei ungerader Anzahl gehört der Median zu keiner Hälfte |
| Spannweite | Maximum − Minimum | empfindlich gegen Ausreißer |
| Interquartilsabstand | IQR = Q₃ − Q₁ | Breite der Box |
| Ausreißer | kleiner als Q₁ − 1,5 · IQR oder größer als Q₃ + 1,5 · IQR | werden einzeln markiert |
| Anteile | zwischen zwei benachbarten Kennwerten etwa 25 % | zwischen Q₁ und Q₃ etwa 50 % |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Wartezeiten in Minuten: 3, 7, 4, 12, 5, 9, 6, 22, 8, 5, 10. Bestimme die fünf Kennwerte, den IQR und die Ausreißer.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Ordnen | 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 22 | 11 Werte; Min = 3, Max = 22 |
| 2 · Median | 6. Wert = 7 | links und rechts davon stehen je 5 Werte |
| 3 · Hälften | unten 3, 4, 5, 5, 6 · oben 8, 9, 10, 12, 22 | der Median 7 gehört zu keiner Hälfte |
| 4 · Quartile | Q₁ = 5; Q₃ = 10 | jeweils der mittlere Wert der Hälfte |
| 5 · IQR und Grenzen | IQR = 5; 5 − 7,5 = −2,5 und 10 + 7,5 = 17,5 | 1,5 · 5 = 7,5 nach unten und oben |
| 6 · Ausreißer | 22 | nur 22 liegt außerhalb von −2,5 bis 17,5 |
Der typische Fehler
Den Median in beide Hälften aufnehmen. Die obere Hälfte wäre dann 7, 8, 9, 10, 12, 22 und Q₃ = 9,5 statt 10. Das fühlt sich richtig an, weil 11 : 2 = 5,5 ist und man aufrunden möchte; manche Bücher und Rechner machen es tatsächlich so. Auf diesen Blättern gilt die Regel oben: Bei ungerader Anzahl bleibt der Median draußen, beide Hälften haben gleich viele Werte.
So prüfst du dein Ergebnis
Reihenfolge und Hälften zählen. Es muss Min ≤ Q₁ ≤ Median ≤ Q₃ ≤ Max gelten: 3 ≤ 5 ≤ 7 ≤ 10 ≤ 22. Passt. Und beide Hälften müssen gleich viele Werte haben, hier je 5.