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Substitution & biquadratische Gleichungen
Mathematik · Klasse 10–11 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: E.3 Anwendungen des Ableitungsbegriffs
Hier steht, wie man eine Gleichung vierten Grades mit einer Substitution auf eine quadratische zurückführt. Der entscheidende Schritt ist der letzte, und der wird am häufigsten vergessen.
Worum es geht
Eine biquadratische Gleichung enthält nur x⁴, x² und eine Zahl, etwa x⁴ − 13x² + 36 = 0. Weil x⁴ = (x²)² ist, ersetzt man x² durch eine neue Variable z. Das heißt Substitution. Es entsteht eine quadratische Gleichung in z, die man mit der p-q-Formel löst. Danach macht man die Ersetzung rückgängig und bestimmt aus jedem z die passenden x. Dieselbe Idee funktioniert mit z = x³, z = 2ˣ oder z = √x.
Die Regeln
| Schritt | Regel | Beispiel |
|---|---|---|
| Erkennen | nur gerade Potenzen: ax⁴ + bx² + c = 0 | x⁴ − 13x² + 36 = 0 |
| Substituieren | z = x², also x⁴ = z² | z² − 13z + 36 = 0 |
| In z lösen | p-q-Formel oder Faktorisieren | z = 4 oder z = 9 |
| Rücksubstituieren | x² = z: für z > 0 ist x = ±√z, für z < 0 gibt es keine Lösung | x = ±2, x = ±3 |
| Ohne Zahlglied | x² ausklammern statt substituieren | x⁴ − 9x² = x²(x² − 9) |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Löse: x⁴ − 5x² − 36 = 0
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Substituieren | z = x²: z² − 5z − 36 = 0 | aus einer Gleichung vierten Grades wird eine quadratische |
| 2 · p-q-Formel | z = 2,5 ± √(6,25 + 36) = 2,5 ± 6,5 | p = −5, q = −36; minus minus ergibt plus |
| 3 · Lösungen in z | z₁ = 9; z₂ = −4 | das sind Werte für x², noch nicht für x |
| 4 · Rücksubstitution für z₁ | x² = 9 → x = −3 oder x = 3 | Wurzel ziehen, beide Vorzeichen |
| 5 · Rücksubstitution für z₂ | x² = −4 → keine Lösung | ein Quadrat ist nie negativ |
Der typische Fehler
Die Rücksubstitution vergessen und die z-Werte als Lösung angeben. Dann steht da x = −4; x = 9. Das fühlt sich richtig an, weil man nach der p-q-Formel sonst immer fertig ist. Gesucht ist aber x, nicht z. Die Probe zeigt es: 9⁴ − 5 · 9² − 36 = 6561 − 405 − 36 = 6120, nicht 0.
So prüfst du dein Ergebnis
Einsetzen in die Ausgangsgleichung. Für x = 3: 81 − 5 · 9 − 36 = 81 − 45 − 36 = 0. Für x = −3 kommt dasselbe heraus, weil nur gerade Potenzen vorkommen. Das ist zugleich eine Kontrolle der Anzahl: Zu jeder positiven Lösung x gehört auch −x.