ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Binomische Formeln
Mathematik · Klasse 8 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Zahl und Operation – Operationen und ihre Eigenschaften · Jg. 7/8
Die drei binomischen Formeln, wie man a und b in einem Term erkennt, und der Fehler, den fast jeder einmal macht.
Worum es geht
Die binomischen Formeln sind Abkürzungen für drei Produkte, die ständig vorkommen. Man könnte (3x − 4)² auch Glied für Glied ausmultiplizieren; die Formel spart die Arbeit und zeigt die Struktur: Beim Quadrat einer Summe oder Differenz entstehen immer drei Glieder, beim Produkt (a + b)(a − b) nur zwei. a und b stehen dabei für ganze Glieder, also etwa a = 3x.
Die Regeln
| Formel | Ausgeschrieben | Beispiel |
|---|---|---|
| 1. binomische Formel | (a + b)² = a² + 2ab + b² | (x + 5)² = x² + 10x + 25 |
| 2. binomische Formel | (a − b)² = a² − 2ab + b² | (x − 3)² = x² − 6x + 9 |
| 3. binomische Formel | (a + b)(a − b) = a² − b² | (2x + 1)(2x − 1) = 4x² − 1 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: (3x − 4)²
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Formel erkennen | Differenz im Quadrat → 2. Formel · a = 3x, b = 4 | wer a und b benennt, bevor er rechnet, vergisst den Faktor 3 nicht |
| 2 · a² | (3x)² = 9x² | die ganze Klammer wird quadriert, also auch die 3 |
| 3 · 2ab | 2 · 3x · 4 = 24x, mit Minus: −24x | das Mischglied trägt das Vorzeichen aus der Klammer |
| 4 · b² | 4² = 16 | ein Quadrat ist nie negativ, deshalb steht hier immer plus |
| 5 · Zusammensetzen | 9x² − 24x + 16 | drei Glieder, wie bei jedem Quadrat eines Binoms |
Der typische Fehler
(a + b)² = a² + b² — das Mischglied fehlt. Es fühlt sich richtig an, weil 2(a + b) = 2a + 2b auch „auf beide verteilt“ wird. Quadrieren heißt aber (a + b) · (a + b), und dabei entstehen ab und ba zusätzlich. Mit Zahlen: (3 + 4)² = 49, aber 3² + 4² = 25. Der Unterschied ist genau 2 · 3 · 4 = 24.
So prüfst du dein Ergebnis
x = 1 einsetzen. Links: (3 · 1 − 4)² = (−1)² = 1. Rechts: 9 − 24 + 16 = 1. Stimmt. Hätte man das Mischglied vergessen, stünde rechts 25 — der Fehler fällt sofort auf.