ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Baumdiagramm & Pfadregeln
Mathematik · Klasse 8–9 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Daten und Zufall – Umgang mit dem Zufall · Jg. 7/8Hessen: Q3.1 Grundlegende Begriffe und Methoden der Stochastik
Zwei Regeln reichen für jedes Baumdiagramm: entlang eines Pfades multiplizieren, verschiedene Pfade addieren.
Worum es geht
Ein mehrstufiges Zufallsexperiment, etwa zweimal Ziehen aus einer Urne, zeichnet man als Baum: Jede Stufe verzweigt sich, an jedem Ast steht eine Wahrscheinlichkeit. Ein Pfad ist ein möglicher Ablauf von der Wurzel bis zum Ende.
Die Regeln
| Regel | Inhalt | Beispiel |
|---|---|---|
| Pfadmultiplikation | Wahrscheinlichkeit eines Pfades = Produkt entlang des Pfades | rot, rot: 4/7 · 3/6 |
| Pfadaddition | mehrere passende Pfade: Wahrscheinlichkeiten addieren | rot-blau + blau-rot |
| mit Zurücklegen | jede Stufe hat dieselben Wahrscheinlichkeiten | 4/7 · 4/7 |
| ohne Zurücklegen | Zähler und Nenner verändern sich nach jedem Zug | 4/7 · 3/6 |
| Gegenereignis | P(mindestens einmal) = 1 − P(keinmal) | 1 − 3/7 · 2/6 |
| wie oft versuchen? | 1 − qⁿ ≥ Ziel, n schrittweise erhöhen oder mit ln lösen | q = Wahrscheinlichkeit für „kein Treffer“ |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: In einer Urne liegen 4 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist P(genau eine rote Kugel)?
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · passende Pfade | rot-blau und blau-rot | „genau eine“ lässt offen, wann die rote kommt |
| 2 · Pfad rot-blau | 4/7 · 3/6 = 12/42 | nach dem ersten Zug liegen nur noch 6 Kugeln in der Urne |
| 3 · Pfad blau-rot | 3/7 · 4/6 = 12/42 | alle 4 roten sind noch da, aber nur noch 6 Kugeln insgesamt |
| 4 · Addieren | 12/42 + 12/42 = 24/42 = 4/7 | zwei verschiedene Abläufe, beide zählen |
Der typische Fehler
Ohne Zurücklegen den Nenner nicht verkleinern. 4/7 · 3/7 sieht aus wie „dieselbe Urne“, und die Urne ist ja dieselbe. Aber nach dem ersten Zug fehlt eine Kugel: Es sind nur noch 6. Zähler und Nenner müssen den Zug davor berücksichtigen.
So prüfst du dein Ergebnis
Alle Pfade zusammen ergeben 1. rot-rot 12/42, rot-blau 12/42, blau-rot 12/42, blau-blau 3/7 · 2/6 = 6/42. Summe 42/42 = 1. Passt. Mit dem falschen Nenner 7 käme keine 1 heraus.