ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Antiproportionale Zuordnungen
Mathematik · Klasse 7 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Funktionaler Zusammenhang – Zuordnungen · Jg. 7/8
Wie man Aufgaben löst, bei denen mehr von dem einen weniger von dem anderen bedeutet.
Worum es geht
Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn zum Doppelten die Hälfte gehört: doppelt so viele Maler brauchen halb so lange. Was dabei gleich bleibt, ist das Produkt x · y, zum Beispiel die gesamte Arbeit in „Malertagen“. Der Dreisatz funktioniert auch hier, nur mit umgekehrten Rechenzeichen.
Die Regeln
| Regel | Bedeutung | Beispiel |
|---|---|---|
| Antiproportional | doppelt so viel → halb so viel; x · y bleibt gleich | 4 Maler 6 Tage, 8 Maler 3 Tage; 4 · 6 = 8 · 3 = 24 |
| Umgekehrter Dreisatz | auf 1 zurück durch Malnehmen, dann auf die gesuchte Zahl durch Teilen | 4 Maler ≙ 6 Tage; 1 Maler ≙ 24 Tage; 3 Maler ≙ 8 Tage |
| Tabelle prüfen | y : x immer gleich → proportional; x · y immer gleich → antiproportional; sonst weder noch | x: 2 | 3 | 6, y: 12 | 8 | 4 → x · y = 24 → antiproportional |
| Mindestanzahl | Ergebnis mit Komma immer aufrunden | 25 Arbeitstage in höchstens 4 Tagen: 25 : 4 = 6,25 → 7 Arbeiter |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Ein Futtervorrat reicht für 6 Pferde 20 Tage. Wie lange reicht er für 8 Pferde?
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Art erkennen | mehr Pferde → weniger Tage | mehr Tiere fressen den Vorrat schneller auf: antiproportional |
| 2 · Was man weiß | 6 Pferde ≙ 20 Tage | links die Pferde, rechts die Tage |
| 3 · Auf 1 Pferd | 1 Pferd ≙ 20 · 6 = 120 Tage | ein Pferd allein braucht sechsmal so lange; hier wird malgenommen, nicht geteilt |
| 4 · Auf 8 Pferde | 8 Pferde ≙ 120 : 8 = 15 Tage | acht Pferde teilen sich den Vorrat, er reicht ein Achtel so lange |
Der typische Fehler
20 : 6 · 8 = 26,7 Tage — proportional gerechnet, wie man es vom normalen Dreisatz gewohnt ist. Das fühlt sich richtig an, weil der Ablauf „teilen, dann malnehmen“ eingeübt ist. Aber dann würde der Vorrat für mehr Pferde länger reichen, und das ist unmöglich. Vor dem Rechnen immer fragen: Wird es mehr oder weniger?
So prüfst du dein Ergebnis
Produkt vergleichen. Bei einer antiproportionalen Zuordnung muss x · y vorher und nachher gleich sein: 6 · 20 = 120 und 8 · 15 = 120. Gleich, also richtig. Zusätzlich die Richtung: mehr Pferde, weniger Tage. 15 < 20 passt.