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Ähnlichkeit & Streckfaktor
Mathematik · Klasse 9 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: Raum und Form – Beziehungen zwischen geometrischen Objekten · Jg. 7/8
Ein Streckfaktor k, drei Potenzen: k für Längen, k² für Flächen, k³ für Volumen. Diese Seite zeigt, warum.
Worum es geht
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die eine eine maßstabsgetreue Vergrößerung oder Verkleinerung der anderen ist: gleiche Winkel, alle Längen mit demselben Faktor k multipliziert. Ist k > 1, wird vergrößert, ist 0 < k < 1, verkleinert.
Die Regeln
| Größe | Regel | Beispiel mit k = 2 |
|---|---|---|
| Streckfaktor | k = Bildlänge : Originallänge | 10 cm : 5 cm = 2 |
| Längen, Umfang | mal k | 12 cm → 24 cm |
| Flächen, Oberfläche | mal k² | 5 cm² → 20 cm² |
| Volumen | mal k³ | 3 cm³ → 24 cm³ |
| k aus Flächen | k = √(A′ : A) | 20 : 5 = 4 → k = 2 |
| Maßstab 1 : M | Flächen mal M², Volumen mal M³ | 1 : 100 → Flächen mal 10 000 |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Zwei ähnliche Körper haben die Volumina 40 cm³ und 135 cm³. Berechne den Streckfaktor k und das Verhältnis der Oberflächen O′ : O.
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Volumenverhältnis | k³ = 135 : 40 = 3,375 | Volumina ändern sich mit k³ |
| 2 · Dritte Wurzel | k = ∛3,375 = 1,5 | probe: 1,5 · 1,5 · 1,5 = 3,375 |
| 3 · Oberflächen | O′ : O = k² = 1,5² = 2,25 | Oberflächen sind Flächen, also k² |
Der typische Fehler
Flächen mit k statt mit k² strecken. „Alles wird doppelt so groß“, also auch die Fläche, denkt man bei k = 2. Doch ein Quadrat von 1 cm × 1 cm wird zu 2 cm × 2 cm, und darin haben vier der alten Quadrate Platz. Jede der beiden Richtungen wird mit k multipliziert, die Fläche also mit k · k. Beim Volumen kommt die dritte Richtung dazu.
So prüfst du dein Ergebnis
Rückwärts rechnen. 40 cm³ · 1,5³ = 40 · 3,375 = 135 cm³. Passt. Außerdem: Ist das Bild größer, muss k > 1 sein; dann liegt das Flächenverhältnis k² zwischen k und k³, hier 1,5 < 2,25 < 3,375.