ZirkelschlagArbeitsblätter / Themen A–Z / Mathematik
Ableitungen
Mathematik · Klasse 11–13 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
LehrplanHessen: E.2 Einführung des AbleitungsbegriffsHessen: E.4 Exponentialfunktionen
Die Ableitungsregeln auf einen Blick und die Kettenregel Schritt für Schritt — mit einer Probe, die jede Ableitung numerisch bestätigt.
Worum es geht
Die Ableitung f′(x) gibt die Steigung des Graphen von f an der Stelle x an, also wie schnell sich f dort ändert. Man berechnet sie mit wenigen Regeln: Die Potenzregel leitet einzelne Potenzen ab, Faktor- und Summenregel erlauben, Term für Term vorzugehen. Für zusammengesetzte Funktionen gibt es Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Welche man braucht, entscheidet die äußerste Rechenoperation des Terms.
Die Regeln
| Regel | Formel | Beispiel |
|---|---|---|
| Potenzregel | (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹ | (x⁵)′ = 5x⁴ |
| Faktor, Summe | Faktoren bleiben stehen, Summen gliedweise | (4x³ − 2x)′ = 12x² − 2 |
| Kettenregel | (u(v(x)))′ = u′(v(x)) · v′(x): äußere mal innere Ableitung | ((x² + 1)³)′ = 3(x² + 1)² · 2x |
| Produktregel | (u · v)′ = u′v + uv′ | (x² · eˣ)′ = 2x · eˣ + x² · eˣ |
| Quotientenregel | (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² | (x/(x + 1))′ = 1/(x + 1)² |
| e und ln | (eˣ)′ = eˣ · (ln x)′ = 1/x | (e^(3x))′ = 3e^(3x) |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: f(x) = 3 · (2x − 5)⁴. Bestimme f′(x).
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Aufbau erkennen | außen: 3 · u⁴ · innen: u = 2x − 5 | die Klammer wird zuletzt berechnet und dann potenziert — also Kettenregel |
| 2 · Äußere Ableitung | 3 · 4u³ = 12(2x − 5)³ | die Klammer wird wie eine einzelne Variable abgeleitet und bleibt unverändert stehen |
| 3 · Innere Ableitung | (2x − 5)′ = 2 | sie misst, wie schnell sich die Klammer selbst ändert |
| 4 · Malnehmen | f′(x) = 12(2x − 5)³ · 2 = 24(2x − 5)³ | ändert sich die Klammer doppelt so schnell wie x, ändert sich auch f doppelt so schnell |
Der typische Fehler
Innere Ableitung vergessen: f′(x) = 12(2x − 5)³. Das fühlt sich richtig an, weil die Potenzregel sauber angewendet wurde und das Ergebnis genauso aussieht wie bei (x − 5)⁴. Der Faktor 2 vor x beschleunigt die Änderung aber. Kleines Beispiel: (2x)² = 4x² hat die Ableitung 8x; die Potenzregel allein liefert 2 · (2x) = 4x, nur die Hälfte.
So prüfst du dein Ergebnis
Differenzenquotient. Wähle eine Stelle, etwa x = 3: f(3) = 3 · 1⁴ = 3 und f(3,001) = 3 · 1,002⁴ ≈ 3,02407. Die Steigung ist ungefähr 0,02407 : 0,001 ≈ 24,07. Deine Ableitung liefert f′(3) = 24 · 1³ = 24. Passt. Ohne die innere Ableitung hätte man 12 erhalten.