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Statistik in der Biologie (χ², Mittelwert, Standardabweichung)
Biologie · Klasse 11–13 · 6 Blätter · 75 Aufgaben
Mittelwert, Median, Standardabweichung und der χ²-Test, so wie sie in Genetik und Ökologie gebraucht werden.
Worum es geht
Messwerte streuen. Der Mittelwert beschreibt die Lage, die Standardabweichung s die Streuung. Der χ²-Test prüft, ob beobachtete Häufigkeiten nur zufällig von erwarteten abweichen (Nullhypothese H₀) oder signifikant. Ist χ² größer als der kritische Wert, wird H₀ verworfen.
Die Formeln
| Größe | Rechnung | Hinweis |
|---|---|---|
| Mittelwert | x̄ = Σxᵢ / n | Median: mittlerer Wert der sortierten Reihe |
| Standardabweichung | s = √(Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)) | Stichprobe: durch n − 1 teilen |
| Erwartungswerte | E = Gesamtzahl · Anteil laut Verhältnis | Vierfeldertafel: Zeilensumme · Spaltensumme / Gesamt |
| Prüfgröße | χ² = Σ (B − E)² / E | mit absoluten Zahlen, nie mit Prozent |
| Freiheitsgrade | Anpassungstest: Klassen − 1; Vierfeldertafel: 1 | kritische Werte bei α = 0,05: 3,841 (1), 5,991 (2), 7,815 (3) |
Beispiel, Schritt für Schritt
Aufgabe: Monohybride Kreuzung, erwartet 3 : 1. Beobachtet: 290 dominant, 110 rezessiv. Ist die Abweichung signifikant?
| Schritt | Rechnung | Warum |
|---|---|---|
| 1 · Nullhypothese | Abweichung vom Verhältnis 3 : 1 ist zufällig | getestet wird immer gegen H₀ |
| 2 · Erwartungswerte | 400 · 3/4 = 300; 400 · 1/4 = 100 | Gesamtzahl auf das Verhältnis verteilen |
| 3 · Summanden | (290 − 300)²/300 = 0,33; (110 − 100)²/100 = 1,00 | gleiche Abweichung wiegt schwerer, wo wenig erwartet wird |
| 4 · χ² | 0,33 + 1,00 = 1,33 | Summe über alle Klassen |
| 5 · Entscheiden | df = 2 − 1 = 1; 1,33 < 3,841 | nicht signifikant, H₀ wird beibehalten |
Der typische Fehler
Durch den beobachteten statt den erwarteten Wert teilen. Beide Zahlen stehen nebeneinander in der Tabelle, und die Formel sieht symmetrisch aus. Im Beispiel ergäbe das 100/290 + 100/110 = 1,25 statt 1,33. Nahe am kritischen Wert kippt so die Entscheidung. Im Nenner steht immer E.
So prüfst du dein Ergebnis
Summen und df kontrollieren. Die Erwartungswerte müssen zusammen die Gesamtzahl ergeben (300 + 100 = 400). χ² ist nie negativ und nur bei perfekter Übereinstimmung null. Freiheitsgrade: vier Klassen bei 9 : 3 : 3 : 1 ergeben df = 3, nicht 4.